Diketahui fungsi f(x) dan g(x) dengan f'(1)=2 dan g'(1) =3

Nilai g(1) adalah 3.

Pembahasan

Kita diberikan informasi berikut:
1. f'(1) = 2
2. g'(1) = 3
3. Turunan dari (f . g)(x) saat x=1 adalah 18.
4. Turunan dari (f^2 + g^2)(x) saat x=1 adalah 34.

Kita perlu mencari nilai g(1).

Aturan perkalian untuk turunan menyatakan bahwa (f . g)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).
Substitusikan x=1:
(f . g)'(1) = f'(1)g(1) + f(1)g'(1)
18 = (2)g(1) + f(1)(3)
18 = 2g(1) + 3f(1)  --- (Persamaan 1)

Selanjutnya, mari kita turunkan (f^2 + g^2)(x):
Turunan dari f^2 adalah 2f(x)f'(x).
Turunan dari g^2 adalah 2g(x)g'(x).
Jadi, turunan dari (f^2 + g^2)(x) adalah 2f(x)f'(x) + 2g(x)g'(x).

Substitusikan x=1:
(f^2 + g^2)'(1) = 2f(1)f'(1) + 2g(1)g'(1)
34 = 2f(1)(2) + 2g(1)(3)
34 = 4f(1) + 6g(1)  --- (Persamaan 2)

Kita sekarang memiliki sistem dua persamaan linear dengan dua variabel (f(1) dan g(1)):
Persamaan 1: 18 = 2g(1) + 3f(1)
Persamaan 2: 34 = 4f(1) + 6g(1)

Untuk menyelesaikan sistem ini, kita bisa menggunakan metode substitusi atau eliminasi. Mari kita gunakan eliminasi. Kita bisa mengalikan Persamaan 1 dengan 2 agar koefisien f(1) sama dengan di Persamaan 2 (tetapi dengan tanda berlawanan jika kita ingin menambahkan, atau koefisien g(1) sama jika kita ingin mengurangkan).

Kalikan Persamaan 1 dengan 2:
2 * (18) = 2 * (2g(1) + 3f(1))
36 = 4g(1) + 6f(1) ---(Persamaan 3)

Sekarang, kita bisa mengurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 3 untuk mengeliminasi f(1):
(36) - (34) = (4g(1) + 6f(1)) - (4f(1) + 6g(1))
2 = 4g(1) + 6f(1) - 4f(1) - 6g(1)
2 = (6f(1) - 4f(1)) + (4g(1) - 6g(1))
2 = 2f(1) - 2g(1)

Oh, sepertinya ada kesalahan dalam pengurangan atau perkalian. Mari kita cek ulang:
Persamaan 1: 18 = 2g(1) + 3f(1)
Persamaan 2: 34 = 4f(1) + 6g(1)

Perhatikan bahwa Persamaan 2 adalah kelipatan dari Persamaan 1 jika dikalikan 2: 2 * (18) = 36 dan 2 * (2g(1) + 3f(1)) = 4g(1) + 6f(1). Sehingga Persamaan 2 seharusnya adalah 36 = 4f(1) + 6g(1) jika konsisten. Namun, diberikan 34 = 4f(1) + 6g(1).

Ini menunjukkan ada kemungkinan inkonsistensi dalam soal atau kita perlu mengecek kembali. Mari kita coba kalikan Persamaan 1 dengan 3 untuk mengeliminasi g(1):
3 * (18) = 3 * (2g(1) + 3f(1))
54 = 6g(1) + 9f(1) ---(Persamaan 4)

Sekarang kurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 4:
(54) - (34) = (6g(1) + 9f(1)) - (4f(1) + 6g(1))
20 = 6g(1) + 9f(1) - 4f(1) - 6g(1)
20 = (9f(1) - 4f(1)) + (6g(1) - 6g(1))
20 = 5f(1)
f(1) = 20 / 5
f(1) = 4

Sekarang substitusikan nilai f(1) = 4 ke dalam Persamaan 1 untuk mencari g(1):
18 = 2g(1) + 3f(1)
18 = 2g(1) + 3(4)
18 = 2g(1) + 12
18 - 12 = 2g(1)
6 = 2g(1)
g(1) = 6 / 2
g(1) = 3

Mari kita periksa dengan Persamaan 2:
34 = 4f(1) + 6g(1)
34 = 4(4) + 6(3)
34 = 16 + 18
34 = 34

Kedua persamaan terpenuhi. Jadi, nilai g(1) adalah 3.