Diketahui fungsi komposisi (gof)(x)=x-2 . Tentukan fungsi f

Beberapa pasangan fungsi f dan g yang mungkin adalah: (f(x)=x, g(x)=x-2) atau (f(x)=x-2, g(x)=x).

Pembahasan

Untuk menentukan fungsi $f$ dan $g$ yang mungkin dari fungsi komposisi $(g \circ f)(x) = x - 2$, kita perlu memahami bahwa $(g \circ f)(x)$ berarti $g(f(x))$.

Ini berarti kita memasukkan fungsi $f(x)$ ke dalam fungsi $g(x)$, dan hasil akhirnya adalah $x - 2$.
Ada banyak pasangan fungsi $f$ dan $g$ yang bisa menghasilkan $x - 2$. Berikut beberapa cara untuk memperoleh jawaban:

**Pendekatan 1: Memilih salah satu fungsi terlebih dahulu.**

*   **Pilih g(x) terlebih dahulu:**
    Misalkan kita pilih $g(x) = x - 2$. Maka, agar $g(f(x)) = x - 2$, kita harus memiliki $f(x) = x$. 
    Jadi, salah satu pasangan yang mungkin adalah $f(x) = x$ dan $g(x) = x - 2$.
    *Cara memperoleh:* Kita tahu bahwa $g(f(x))$ adalah hasil substitusi $f(x)$ ke $g(x)$. Jika $g(x)$ sudah sama dengan $x-2$, maka $f(x)$ haruslah $x$ agar $g(x)$ tidak berubah.

*   **Pilih f(x) terlebih dahulu:**
    Misalkan kita pilih $f(x) = x - 2$. Maka, agar $g(f(x)) = x - 2$, kita harus memiliki $g(y) = y$, di mana $y = f(x) = x - 2$. Jadi, $g(x) = x$.
    Jadi, pasangan lain yang mungkin adalah $f(x) = x - 2$ dan $g(x) = x$.
    *Cara memperoleh:* Jika $f(x)$ sudah menghasilkan $x-2$, maka $g$ haruslah fungsi identitas (yaitu $g(x)=x$) agar hasil komposisinya tetap $x-2$.

**Pendekatan 2: Menggunakan bentuk umum.**

Kita tahu $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = x - 2$.
Misalkan $f(x) = ax + b$ dan $g(x) = cx + d$. Maka:
$g(f(x)) = g(ax+b) = c(ax+b) + d = acx + bc + d$.
Kita ingin $acx + bc + d = x - 2$.
Dengan menyamakan koefisien $x$ dan konstanta:
$ac = 1$
$bc + d = -2$

Dari $ac = 1$, kita bisa memilih $a=1, c=1$ (seperti pada Pendekatan 1). Maka $b+d = -2$. Ini memberikan banyak pilihan, misalnya:
    *   $f(x) = x + 1$, $g(x) = x - 3$. Maka $g(f(x)) = g(x+1) = (x+1) - 3 = x - 2$.
    *   $f(x) = x - 1$, $g(x) = x - 1$. Maka $g(f(x)) = g(x-1) = (x-1) - 1 = x - 2$.
    *   $f(x) = x + 5$, $g(x) = x - 7$. Maka $g(f(x)) = g(x+5) = (x+5) - 7 = x - 2$.

Kita juga bisa memilih $a=2, c=1/2$. Maka $f(x) = 2x + b$ dan $g(x) = (1/2)x + d$.
$(1/2)(2x+b) + d = x + b/2 + d = x - 2$.
Maka $b/2 + d = -2$. Contohnya:
    *   Jika $b=0$, maka $f(x) = 2x$ dan $d = -2$, jadi $g(x) = (1/2)x - 2$. $g(f(x)) = g(2x) = (1/2)(2x) - 2 = x - 2$.
    *   Jika $b=2$, maka $f(x) = 2x + 2$. $1 + d = -2$, jadi $d = -3$. $g(x) = (1/2)x - 3$. $g(f(x)) = g(2x+2) = (1/2)(2x+2) - 3 = x + 1 - 3 = x - 2$.

**Pendekatan 3: Menggunakan substitusi yang lebih kompleks.**

Misalkan $f(x) = x^2$. Maka $g(f(x)) = g(x^2) = x - 2$. 
Agar $g(x^2) = x - 2$, kita perlu mencari fungsi $g$ yang jika inputnya dikuadratkan menghasilkan $x - 2$. Ini tidak mungkin dilakukan dengan mudah jika kita hanya mengizinkan fungsi polinomial sederhana.

Namun, jika kita mengizinkan fungsi yang lebih umum, misalnya $g(y) = \sqrt{y} - 2$ (untuk $y \ge 0$) atau $g(y) = -\sqrt{y} - 2$ (untuk $y \ge 0$), maka $g(x^2)$ akan melibatkan $x$ tetapi tidak persis $x-2$ secara langsung tanpa pembatasan.

Cara yang lebih baik adalah dengan mengamati bahwa output dari $f(x)$ haruslah input untuk $g$ yang menghasilkan $x-2$.
Jika kita misalkan $y = f(x)$, maka $g(y) = x - 2$. 
Kita perlu mengekspresikan $x$ dalam bentuk $y$. Jika $f(x) = x^3$, maka $y = x^3$, sehingga $x = y^{1/3}$. Maka $g(y) = y^{1/3} - 2$. Jadi $f(x) = x^3$ dan $g(x) = x^{1/3} - 2$ adalah pasangan lain.

**Jawaban yang Mungkin:**

1.  $f(x) = x$, $g(x) = x - 2$
    Cara memperoleh: Jika $g(x)$ sudah merupakan $x-2$, maka $f(x)$ harus fungsi identitas agar komposisinya tetap $x-2$.

2.  $f(x) = x - 2$, $g(x) = x$
    Cara memperoleh: Jika $f(x)$ sudah menghasilkan $x-2$, maka $g(x)$ harus fungsi identitas.

3.  $f(x) = x + 1$, $g(x) = x - 3$
    Cara memperoleh: Menggunakan bentuk umum $g(f(x)) = acx + bc + d$. Dengan $a=1, c=1$, $ac=1$. Kita butuh $bc+d = -2$. Jika $f(x)=x+b$ dan $g(x)=x+d$, maka $b+d=-2$. Pilih $b=1, d=-3$. 

4.  $f(x) = 2x$, $g(x) = \frac{1}{2}x - 2$
    Cara memperoleh: Menggunakan bentuk umum $g(f(x)) = acx + bc + d$. Dengan $a=2, c=1/2$, $ac=1$. Kita butuh $bc+d = -2$. Jika $f(x)=ax+b$ dan $g(x)=cx+d$. $2(1/2)x + (1/2)b + d = x + b/2 + d = x-2$. Maka $b/2+d = -2$. Pilih $b=0, d=-2$. 

5.  $f(x) = x^3$, $g(x) = x^{1/3} - 2$
    Cara memperoleh: Jika $y=f(x)=x^3$, maka $x=y^{1/3}$. $g(y)=x-2=y^{1/3}-2$. Jadi $g(x)=x^{1/3}-2$. 

Jawaban yang paling sederhana dan umum adalah dua pasangan pertama.