Diketahui g(x)=1/3 x^3-A^2 x+1 dan f(x)=g(2x-1) , A suatu

Nilai maksimum relatif g adalah 5/3.

Pembahasan

Untuk mencari nilai maksimum relatif g, kita perlu menganalisis turunan pertama dari fungsi g(x). Diketahui g(x) = 1/3 x^3 - A^2 x + 1. Maka, turunan pertamanya adalah g'(x) = x^2 - A^2.
Fungsi f(x) = g(2x-1). Menggunakan aturan rantai, f'(x) = g'(2x-1) * 2.
Kita tahu bahwa f naik pada x <= 0 atau x >= 1. Ini berarti f'(x) >= 0 pada interval tersebut.
Karena f'(x) = g'(2x-1) * 2, maka g'(2x-1) >= 0 pada interval x <= 0 atau x >= 1.
Ganti 2x-1 dengan y. Maka x = (y+1)/2.
Jika x <= 0, maka (y+1)/2 <= 0 => y+1 <= 0 => y <= -1.
Jika x >= 1, maka (y+1)/2 >= 1 => y+1 >= 2 => y >= 1.
Jadi, g'(y) >= 0 pada y <= -1 atau y >= 1.
Karena g'(y) = y^2 - A^2, maka y^2 - A^2 >= 0 pada y <= -1 atau y >= 1.
Ini berarti |y| >= |A|.
Agar y^2 - A^2 >= 0 terpenuhi untuk y <= -1 atau y >= 1, maka haruslah A^2 >= 1, atau |A| >= 1.
Fungsi g akan memiliki nilai maksimum relatif ketika g'(x) = 0 dan g''(x) < 0.
G'(x) = x^2 - A^2 = 0 => x = ±A.
G''(x) = 2x.
Agar g memiliki maksimum relatif, maka G''(x) < 0, yang berarti 2x < 0 => x < 0.
Jadi, nilai maksimum relatif terjadi pada x = -A.
Karena kita memerlukan |A| >= 1, dan nilai maksimum relatif terjadi pada x = -A (yang mana negatif), maka nilai maksimum relatif g adalah g(-A).
G(-A) = 1/3 (-A)^3 - A^2 (-A) + 1
G(-A) = -1/3 A^3 + A^3 + 1
G(-A) = 2/3 A^3 + 1.
Namun, kita perlu memastikan bahwa nilai A yang digunakan sesuai dengan kondisi f naik. Jika kita ambil A=1, maka g'(x) = x^2 - 1. g'(y) >= 0 untuk y <= -1 atau y >= 1. Ini sesuai. Jika A=1, maka nilai maksimum relatif g terjadi pada x = -1. g(-1) = 1/3 (-1)^3 - 1^2 (-1) + 1 = -1/3 + 1 + 1 = 5/3. Jika kita ambil A = -1, maka g'(x) = x^2 - 1. Hasilnya sama. Nilai maksimum relatif terjadi pada x = -(-1) = 1. g(1) = 1/3 (1)^3 - (-1)^2 (1) + 1 = 1/3 - 1 + 1 = 1/3. Jadi, nilai maksimum relatif g adalah 5/3.