Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. a.

a. $12\sqrt{3}$ cm, b. 12 cm, c. $4\sqrt{3}$ cm

Pembahasan

Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 12 cm.
a. Panjang diagonal ruang BH: Diagonal ruang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan dan tidak terletak pada satu sisi atau bidang yang sama. Dalam kubus, panjang diagonal ruang dapat dihitung menggunakan rumus $d = s\sqrt{3}$, di mana s adalah panjang rusuk. Maka, panjang diagonal ruang BH = $12\sqrt{3}$ cm.
b. Jarak titik H ke garis diagonal AC: Garis diagonal AC berada pada bidang alas ABCD. Titik H berada pada bidang atas EFGH. Proyeksi titik H pada bidang alas adalah titik H. Jarak dari H ke bidang ABCD adalah tinggi kubus, yaitu 12 cm. Namun, kita perlu mencari jarak ke garis AC, bukan bidang. Jarak dari H ke garis AC adalah jarak dari H ke titik pada AC yang membentuk garis tegak lurus dengan AC. Perhatikan segitiga siku-siku HAC, siku-siku di A. AH adalah diagonal sisi, dengan panjang $12\sqrt{2}$. AC juga diagonal sisi, dengan panjang $12\sqrt{2}$. HC adalah diagonal ruang, dengan panjang $12\sqrt{3}$. Jarak dari H ke AC adalah tinggi segitiga HAC dari sudut H ke alas AC. Luas segitiga HAC = (1/2) * alas * tinggi = (1/2) * AC * jarak(H, AC). Luas segitiga HAC juga bisa dihitung dengan (1/2) * AH * HC (jika sudut H adalah siku-siku, yang tidak demikian). Luas segitiga HAC = (1/2) * alas * tinggi. Misalkan O adalah titik potong diagonal AC dan BD di alas. Jarak H ke AC adalah jarak H ke proyeksinya pada AC. Proyeksi H pada bidang ABCD adalah H. Proyeksi AC pada bidang ABCD adalah AC. Jarak H ke AC adalah jarak dari H ke garis AC. Perhatikan segitiga siku-siku ABC, siku-siku di B. AC = $12\sqrt{2}$. Perhatikan segitiga siku-siku ABH, siku-siku di A. BH = $12\sqrt{3}$. Segitiga AHC siku-siku di A. AH = $12\sqrt{2}$, AC = $12\sqrt{2}$, HC = $12\sqrt{3}$. Jarak H ke AC adalah tinggi dari H ke sisi AC dalam segitiga AHC. Luas segitiga AHC = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * AC * t. Luas segitiga AHC = 1/2 * AH * HC (jika sudut H adalah siku-siku). Ini salah. Misalkan kita proyeksikan H ke bidang ABCD. Titik proyeksinya adalah H. Kita perlu mencari jarak dari H ke garis AC di bidang ABCD. Ini sama dengan mencari jarak dari H ke titik pada AC yang terdekat. Perhatikan segitiga siku-siku AH'C, di mana H' adalah proyeksi H. Jarak H ke AC adalah jarak H ke titik P pada AC sehingga HP tegak lurus AC. Dalam kubus, jarak titik H ke garis diagonal AC sama dengan jarak titik H ke garis BD (karena simetri). Jarak ini adalah panjang garis yang menghubungkan H ke titik tengah BD (misalkan O), yang merupakan diagonal sisi. Jarak H ke O = $12\sqrt{2}$. Namun, ini bukan jarak ke garis AC. Jarak titik H ke garis AC adalah panjang rusuknya, yaitu 12 cm. Ini karena jika kita ambil titik P di AC sehingga HP tegak lurus AC, maka HP akan sejajar dengan AB atau AD, dan panjangnya adalah 12.
c. Jarak titik F ke bidang ACH: Bidang ACH adalah bidang diagonal. Titik F berada di rusuk EF. Jarak dari F ke bidang ACH adalah jarak tegak lurus dari F ke bidang tersebut. Bidang ACH dibentuk oleh diagonal alas AC dan diagonal ruang AH. Jarak titik F ke bidang ACH adalah jarak dari F ke garis yang tegak lurus bidang ACH yang melalui F. Perhatikan kubus. Bidang ACH memotong kubus. Jarak F ke bidang ACH sama dengan jarak F ke proyeksinya pada bidang tersebut. Jarak F ke bidang ACH adalah 1/3 dari diagonal ruang BH. Jarak titik F ke bidang ACH sama dengan 1/3 dari jarak titik B ke bidang ACH. Bidang ACH melalui titik A, C, H. Diagonal ruang BH tegak lurus dengan bidang ACGE. Bidang ACH adalah bidang diagonal. Jarak titik F ke bidang ACH dapat dihitung dengan menggunakan volume tetrahedron FABH. Volume FABH = 1/3 * Luas segitiga ABH * Jarak F ke AB. Segitiga ABH siku-siku di A. Luas ABH = 1/2 * AB * AH = 1/2 * 12 * $12\sqrt{2}$ = $72\sqrt{2}$. Volume FABH = 1/3 * Luas segitiga ABH * BF (jika BF tegak lurus ABH). Ini salah. Jarak titik F ke bidang ACH adalah 1/3 dari panjang rusuknya, yaitu 4 cm. Ini karena bidang ACH membagi ruang menjadi dua bagian, dan jarak F ke bidang ini sebanding dengan jaraknya ke titik B atau D. Jarak F ke bidang ACH adalah sama dengan jarak E ke bidang ACH, dan sama dengan jarak G ke bidang BFH, dll. Jarak titik F ke bidang ACH adalah sama dengan jarak titik B ke bidang ACH. Jarak dari titik F ke bidang ACH adalah 1/3 dari panjang diagonal ruang, yaitu $(12	ext{ cm}) / \sqrt{3}$ = $4	ext{ }\sqrt{3}$ cm. Salah. Jarak titik F ke bidang ACH adalah sama dengan jarak titik B ke bidang ACH. Jarak titik F ke bidang ACH adalah 1/3 dari tinggi tetrahedron yang dibentuk dengan alas ACH dan titik puncak F. Jarak F ke bidang ACH = $4 \sqrt{3}$ cm.