Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang sisi a. a.

a. Jarak AH ke BF adalah a. b. PQ terpendek saat P=A dan Q=B, atau P=H dan Q=F.

Pembahasan

a. Jarak antara dua garis bersilangan AH dan BF pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang sisi a.
Garis AH terletak pada bidang ADHE dan garis BF terletak pada bidang BCGF. Kedua bidang ini sejajar (karena AD sejajar BC dan AE sejajar BF, serta kedua bidang tegak lurus dengan bidang ABFE).
Garis AH berada pada bidang ADHE, dan BF berada pada bidang BCGF. Jarak antara dua garis bersilangan adalah jarak antara salah satu garis ke bidang yang memuat garis lainnya dan sejajar dengan garis pertama.
Dalam kasus ini, kita bisa mengambil jarak dari titik A (pada AH) ke bidang BCGF, atau jarak dari titik H ke bidang BCGF. Atau, kita bisa mengambil jarak dari titik B (pada BF) ke bidang ADHE, atau jarak dari titik F ke bidang ADHE.

Jarak dari titik A ke bidang BCGF adalah panjang rusuk AB (atau EF atau DC atau HG), yaitu a.
Jarak dari titik H ke bidang BCGF adalah panjang rusuk HG (atau EF atau AB atau DC), yaitu a.
Jarak dari titik B ke bidang ADHE adalah panjang rusuk BA (atau CD atau GH atau FE), yaitu a.
Jarak dari titik F ke bidang ADHE adalah panjang rusuk FE (atau HG atau AB atau DC), yaitu a.

Jadi, jarak antara dua garis bersilangan AH dan BF adalah panjang rusuk kubus, yaitu a.

b. Misalkan P merupakan titik di garis AH dan Q merupakan titik di garis BF. Tentukan posisi P dan Q sehingga PQ mempunyai ukuran terpendek.
Garis AH dan BF adalah rusuk-rusuk yang berhadapan pada sisi-sisi yang berlawanan dari kubus. AH sejajar dengan DE, CG, BF. PQ akan memiliki ukuran terpendek ketika PQ tegak lurus terhadap kedua garis tersebut. Dalam kubus, jarak terpendek antara dua garis bersilangan adalah jarak tegak lurus di antara keduanya.

Untuk mencari posisi P dan Q sehingga PQ memiliki ukuran terpendek, kita perlu mencari vektor arah dari AH dan BF, serta vektor yang menghubungkan kedua garis tersebut dan tegak lurus terhadap keduanya.

Misalkan A=(0,0,0), B=(a,0,0), D=(0,a,0), E=(0,0,a).
Maka:
H = (0,a,a)
F = (a,0,a)

Garis AH dapat direpresentasikan sebagai P(t) = A + t(H-A) = (0,0,0) + t(0,a,a) = (0, ta, ta), di mana 0 ≤ t ≤ 1.
Garis BF dapat direpresentasikan sebagai Q(s) = B + s(F-B) = (a,0,0) + s(0,0,a) = (a, 0, sa), di mana 0 ≤ s ≤ 1.

Vektor PQ = Q(s) - P(t) = (a, 0, sa) - (0, ta, ta) = (a, -ta, sa - ta).

Panjang PQ adalah ||PQ|| = sqrt(a^2 + (-ta)^2 + (sa - ta)^2) = sqrt(a^2 + t^2 a^2 + (s-t)^2 a^2).
Kita ingin meminimalkan panjang ini, yang setara dengan meminimalkan kuadrat panjangnya: L = a^2 + t^2 a^2 + (s-t)^2 a^2.

Namun, cara yang lebih mudah adalah mengenali bahwa jarak terpendek antara dua garis bersilangan pada kubus terjadi ketika segmen garis yang menghubungkan keduanya tegak lurus terhadap kedua garis tersebut. Dalam kasus rusuk-rusuk yang sejajar seperti AH dan BF (keduanya vertikal jika kita anggap alas di bidang xy), jarak terpendek adalah jarak tegak lurus di antara keduanya. Dalam kubus, rusuk-rusuk seperti AH dan BF sebenarnya sejajar dengan sumbu z jika kita letakkan alasnya pada bidang xy dengan A di (0,0,0).

Perlu klarifikasi mengenai