Diketahui kubus ABCD.EFGH. Nilai tangen dari sudut antara

√2/2

Pembahasan

Untuk mencari nilai tangen sudut antara garis AE dan bidang BDE pada kubus ABCD.EFGH, kita perlu menentukan vektor arah dari AE dan vektor normal dari bidang BDE. Misalkan panjang rusuk kubus adalah 'a'.

Titik-titik sudut kubus dapat kita definisikan dalam koordinat Kartesius:
A = (0, 0, a), B = (a, 0, a), C = (a, a, a), D = (0, a, a)
E = (0, 0, 0), F = (a, 0, 0), G = (a, a, 0), H = (0, a, 0)

Vektor arah AE adalah vektor dari A ke E: AE = E - A = (0, 0, 0) - (0, 0, a) = (0, 0, -a).

Bidang BDE dibentuk oleh titik B(a, 0, a), D(0, a, a), dan E(0, 0, 0).
Untuk mencari vektor normal bidang BDE, kita dapat menghitung produk silang dari dua vektor yang terletak pada bidang tersebut, misalnya BD dan BE.

BD = D - B = (0, a, a) - (a, 0, a) = (-a, a, 0)
BE = E - B = (0, 0, 0) - (a, 0, a) = (-a, 0, -a)

Vektor normal (n) = BD x BE = 
| i   j   k  |
| -a  a   0  |
| -a  0  -a  |
= i(a*(-a) - 0*0) - j((-a)*(-a) - 0*(-a)) + k((-a)*0 - a*(-a))
= i(-a^2) - j(a^2) + k(a^2)
n = (-a^2, -a^2, a^2)

Kita bisa menyederhanakan vektor normal menjadi n' = (-1, -1, 1) dengan membagi dengan a^2.

Nilai sinus sudut (θ) antara garis AE dan bidang BDE diberikan oleh rumus:
sin(θ) = |AE · n'| / (||AE|| * ||n'||)

AE · n' = (0, 0, -a) · (-1, -1, 1) = 0*(-1) + 0*(-1) + (-a)*1 = -a
||AE|| = sqrt(0^2 + 0^2 + (-a)^2) = sqrt(a^2) = |a|
||n'|| = sqrt((-1)^2 + (-1)^2 + 1^2) = sqrt(1 + 1 + 1) = sqrt(3)

sin(θ) = |-a| / (|a| * sqrt(3)) = a / (a * sqrt(3)) = 1 / sqrt(3)

Karena sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1, maka cos^2(θ) = 1 - sin^2(θ) = 1 - (1/sqrt(3))^2 = 1 - 1/3 = 2/3.
Jadi, cos(θ) = sqrt(2/3).

Nilai tangen sudut (tan(θ)) adalah sin(θ) / cos(θ).
tan(θ) = (1 / sqrt(3)) / sqrt(2/3) = (1 / sqrt(3)) * (sqrt(3) / sqrt(2)) = 1 / sqrt(2) = sqrt(2) / 2.

Jawaban:
Nilai tangen dari sudut antara AE dan bidang BDE adalah √2/2.