Diketahui lingkaran dengan pusat (3,2) dengan jari-jari 5.

a. Tidak ada garis singgung. b. 4x + 3y - 43 = 0. c. Terdapat dua garis singgung dengan persamaan 5√6 x - 12y + 24 - 50√6 = 0 dan 5√6 x + 12y - 24 - 50√6 = 0.

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis singgung lingkaran, kita perlu menggunakan rumus jarak antara titik pusat lingkaran dan garis singgung, yang sama dengan jari-jari lingkaran. Rumus umum persamaan lingkaran dengan pusat (h, k) dan jari-jari r adalah (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2.
Dalam kasus ini, pusat lingkaran adalah (3, 2) dan jari-jari r = 5. Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x-3)^2 + (y-2)^2 = 5^2 = 25.

Persamaan umum garis adalah Ax + By + C = 0. Jarak dari titik (x0, y0) ke garis Ax + By + C = 0 diberikan oleh rumus: d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2).
Dalam kasus ini, d = r = 5.

a. Titik (4, 5)
Misalkan persamaan garis singgung adalah y - 5 = m(x - 4), atau mx - y + (5 - 4m) = 0.
Jarak dari pusat (3, 2) ke garis ini harus sama dengan jari-jari 5:
5 = |m(3) - (2) + (5 - 4m)| / sqrt(m^2 + (-1)^2)
5 = |3m - 2 + 5 - 4m| / sqrt(m^2 + 1)
5 = |-m + 3| / sqrt(m^2 + 1)
Kuadratkan kedua sisi:
25 = (-m + 3)^2 / (m^2 + 1)
25(m^2 + 1) = m^2 - 6m + 9
25m^2 + 25 = m^2 - 6m + 9
24m^2 + 6m + 16 = 0
Bagi dengan 2: 12m^2 + 3m + 8 = 0
Untuk memeriksa apakah ada solusi real untuk m, kita hitung diskriminan (D = b^2 - 4ac):
D = (3)^2 - 4(12)(8) = 9 - 384 = -375.
Karena diskriminan negatif, tidak ada garis singgung yang melalui titik (4, 5).

b. Titik (7, 5)
Misalkan persamaan garis singgung adalah y - 5 = m(x - 7), atau mx - y + (5 - 7m) = 0.
Jarak dari pusat (3, 2) ke garis ini harus sama dengan jari-jari 5:
5 = |m(3) - (2) + (5 - 7m)| / sqrt(m^2 + (-1)^2)
5 = |3m - 2 + 5 - 7m| / sqrt(m^2 + 1)
5 = |-4m + 3| / sqrt(m^2 + 1)
Kuadratkan kedua sisi:
25 = (-4m + 3)^2 / (m^2 + 1)
25(m^2 + 1) = 16m^2 - 24m + 9
25m^2 + 25 = 16m^2 - 24m + 9
9m^2 + 24m + 16 = 0
Ini adalah kuadrat sempurna: (3m + 4)^2 = 0.
Jadi, 3m + 4 = 0  =>  m = -4/3.
Persamaan garis singgungnya adalah y - 5 = (-4/3)(x - 7)
3(y - 5) = -4(x - 7)
3y - 15 = -4x + 28
4x + 3y - 43 = 0.

c. Titik (10, 2)
Misalkan persamaan garis singgung adalah y - 2 = m(x - 10), atau mx - y + (2 - 10m) = 0.
Jarak dari pusat (3, 2) ke garis ini harus sama dengan jari-jari 5:
5 = |m(3) - (2) + (2 - 10m)| / sqrt(m^2 + (-1)^2)
5 = |3m - 2 + 2 - 10m| / sqrt(m^2 + 1)
5 = |-7m| / sqrt(m^2 + 1)
Kuadratkan kedua sisi:
25 = (-7m)^2 / (m^2 + 1)
25(m^2 + 1) = 49m^2
25m^2 + 25 = 49m^2
25 = 24m^2
m^2 = 25/24
m = ± sqrt(25/24) = ± 5 / sqrt(24) = ± 5 / (2*sqrt(6)) = ± (5*sqrt(6)) / 12.

Jika m = (5*sqrt(6))/12:
y - 2 = ((5*sqrt(6))/12)(x - 10)
12(y - 2) = 5*sqrt(6)*(x - 10)
12y - 24 = 5*sqrt(6)x - 50*sqrt(6)
5*sqrt(6)x - 12y + (24 - 50*sqrt(6)) = 0.

Jika m = -(5*sqrt(6))/12:
y - 2 = -(5*sqrt(6))/12(x - 10)
12(y - 2) = -5*sqrt(6)*(x - 10)
12y - 24 = -5*sqrt(6)x + 50*sqrt(6)
5*sqrt(6)x + 12y - (24 + 50*sqrt(6)) = 0.

Ada juga kemungkinan garis singgung vertikal jika titik berada pada ketinggian yang sama dengan pusat dan jaraknya sama dengan jari-jari. Titik (10, 2) memiliki y-koordinat yang sama dengan pusat (3, 2). Jarak horizontal dari pusat ke titik ini adalah |10 - 3| = 7. Ini lebih besar dari jari-jari 5, jadi garis vertikal x=10 bukan garis singgung.

Namun, kita perlu memeriksa apakah ada garis singgung vertikal dari awal. Jika garisnya vertikal, persamaannya adalah x = k. Jarak dari (3, 2) ke x = k adalah |k - 3|. Jika ini sama dengan 5, maka |k - 3| = 5, sehingga k - 3 = 5 (k=8) atau k - 3 = -5 (k=-2).
Jadi garis x=8 dan x=-2 adalah garis singgung vertikal.

Titik (10, 2). Apakah titik ini berada pada lingkaran? (10-3)^2 + (2-2)^2 = 7^2 + 0^2 = 49. Ini tidak sama dengan 25, jadi titik (10, 2) tidak berada di lingkaran.

Revisi untuk c. Titik (10, 2):
Kita perlu mencari garis singgung yang melalui titik (10, 2). Jarak dari pusat (3, 2) ke garis singgung adalah 5.
Misalkan persamaan garis singgung adalah y-2 = m(x-10).
Ini berarti mx - y + (2-10m) = 0.
Jarak dari (3,2) ke garis ini adalah 5:
|m(3) - 2 + 2 - 10m| / sqrt(m^2 + 1) = 5
|-7m| / sqrt(m^2 + 1) = 5
49m^2 = 25(m^2 + 1)
49m^2 = 25m^2 + 25
24m^2 = 25
m^2 = 25/24
m = ± 5/√24 = ± 5/(2√6) = ± (5√6)/12.

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah:
y - 2 = (5√6)/12 (x - 10)
12(y - 2) = 5√6 (x - 10)
12y - 24 = 5√6 x - 50√6
5√6 x - 12y + 24 - 50√6 = 0

Dan
y - 2 = -(5√6)/12 (x - 10)
12(y - 2) = -5√6 (x - 10)
12y - 24 = -5√6 x + 50√6
5√6 x + 12y - 24 - 50√6 = 0.

Perlu diperhatikan, jika titik yang diberikan berada di luar lingkaran, akan ada dua garis singgung. Jika titik berada di pada lingkaran, akan ada satu garis singgung. Jika titik berada di dalam lingkaran, tidak ada garis singgung.