Diketahui lingkaran x^2+y^2-4x-2y=4 dan lingkaran

Persamaan garis singgungnya adalah 44x + 33y - 196 = 0.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis singgung kedua lingkaran yang bersinggungan, kita perlu mencari titik singgung terlebih dahulu. Titik singgung ini terletak pada garis yang menghubungkan kedua pusat lingkaran. 

Pertama, mari kita ubah persamaan kedua lingkaran ke bentuk standar (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2.

Lingkaran 1: x^2+y^2-4x-2y=4
(x^2-4x) + (y^2-2y) = 4
(x^2-4x+4) + (y^2-2y+1) = 4+4+1
(x-2)^2 + (y-1)^2 = 9
Pusat lingkaran 1 (P1) adalah (2, 1) dan jari-jarinya (r1) adalah 3.

Lingkaran 2: x^2+y^2-12x-8y=12
(x^2-12x) + (y^2-8y) = 12
(x^2-12x+36) + (y^2-8y+16) = 12+36+16
(x-6)^2 + (y-4)^2 = 64
Pusat lingkaran 2 (P2) adalah (6, 4) dan jari-jarinya (r2) adalah 8.

Karena kedua lingkaran bersinggungan, titik singgung (T) membagi garis P1P2 dengan perbandingan r1:r2.

Koordinat titik singgung T dapat dihitung menggunakan rumus perbandingan:
T = (m*P2 + n*P1) / (m+n)
Di sini, m = r1 = 3 dan n = r2 = 8.
Tx = (3*6 + 8*2) / (3+8) = (18 + 16) / 11 = 34/11
Ty = (3*4 + 8*1) / (3+8) = (12 + 8) / 11 = 20/11
Jadi, titik singgungnya adalah (34/11, 20/11).

Selanjutnya, kita perlu mencari persamaan garis singgung di titik ini. Gradien garis yang menghubungkan kedua pusat (P1P2) adalah:
m_P1P2 = (4-1) / (6-2) = 3 / 4

Garis singgung di titik T tegak lurus terhadap garis P1P2. Maka gradien garis singgung (m_tg) adalah:
m_tg = -1 / m_P1P2 = -1 / (3/4) = -4/3

Persamaan garis singgung menggunakan rumus y - y1 = m(x - x1):
y - 20/11 = -4/3 (x - 34/11)
Kalikan kedua sisi dengan 33 untuk menghilangkan penyebut:
33(y - 20/11) = -44(x - 34/11)
33y - 60 = -44x + 136
44x + 33y - 196 = 0

Jadi, persamaan garis singgung kedua lingkaran di titik singgungnya adalah 44x + 33y - 196 = 0.