Diketahui lingkaran x^2+y^2+Ax+By+C=0 (A, B, dan C bilangan

Garis singgung dibuktikan dengan mengubah bentuk persamaan lingkaran standar dan membandingkan koefisiennya dengan persamaan umum lingkaran, lalu mensubstitusikan nilai pusat dan jari-jari ke dalam rumus garis singgung.

Pembahasan

Misalkan persamaan lingkaran adalah $L: x^2+y^2+Ax+By+C=0$. Persamaan garis singgung lingkaran $L$ di titik $P(x_1, y_1)$ dapat diturunkan dengan beberapa cara. Salah satu cara adalah dengan menggunakan konsep gradien. Persamaan lingkaran dapat ditulis ulang sebagai $(x + A/2)^2 + (y + B/2)^2 = (A^2+B^2)/4 - C$. Titik $P(x_1, y_1)$ terletak pada lingkaran, sehingga $x_1^2+y_1^2+Ax_1+By_1+C=0$.  Diferensiasikan persamaan lingkaran secara implisit terhadap $x$: $2x + 2y rac{dy}{dx} + A + B rac{dy}{dx} = 0$.  $ rac{dy}{dx}(2y + B) = -(2x + A) $. $ rac{dy}{dx} = -rac{2x + A}{2y + B} $. Gradien garis singgung di $P(x_1, y_1)$ adalah $m = -rac{2x_1 + A}{2y_1 + B}$.  Persamaan garis singgung melalui $P(x_1, y_1)$ dengan gradien $m$ adalah $y - y_1 = m(x - x_1)$.  $y - y_1 = -rac{2x_1 + A}{2y_1 + B}(x - x_1)$. $(y - y_1)(2y_1 + B) = -(2x_1 + A)(x - x_1)$. $2yy_1 + By - 2y_1^2 - By_1 = -2x x_1 + 2x_1^2 - Ax + Ax_1$. $2yy_1 + By + Ax + 2x_1^2 + 2y_1^2 - Ax_1 - By_1 = 0$.  Kita tahu bahwa $x_1^2+y_1^2 = -Ax_1 - By_1 - C$. Jadi, $2(x_1^2+y_1^2) = -2Ax_1 - 2By_1 - 2C$.  Substitusikan ini ke persamaan garis singgung: $2yy_1 + By + Ax + (-2Ax_1 - 2By_1 - 2C) - Ax_1 - By_1 = 0$.  Ini salah substitusi.  Mari kita gunakan cara lain yang lebih langsung.  Kita bisa membuktikan identitas tersebut dengan mengganti $x_1^2+y_1^2+Ax_1+By_1+C=0$ ke dalam bentuk yang ingin dibuktikan.  $x_1 x+y_1 y+rac{1}{2} A(x_1+x)+rac{1}{2} B(y_1+y)+C = x_1 x+y_1 y+rac{1}{2} Ax_1+rac{1}{2} Ax+rac{1}{2} By_1+rac{1}{2} By+C$.  Kita ingin menunjukkan bahwa ini sama dengan 0 ketika $(x,y) = (x_1, y_1)$ dan $x_1^2+y_1^2+Ax_1+By_1+C=0$.  Cara pembuktian yang lebih umum adalah dengan mengambil turunan implisit.  Kembali ke $2yy_1 + By - 2y_1^2 - By_1 = -2x x_1 + 2x_1^2 - Ax + Ax_1$.  $2x x_1 + 2y y_1 + Ax + By - (2x_1^2 + 2y_1^2) - Ax_1 - By_1 = 0$.  Ini juga terlihat rumit.  Cara yang lebih standar adalah: Persamaan garis singgung di $(x_1, y_1)$ pada lingkaran $x^2+y^2=r^2$ adalah $xx_1+yy_1=r^2$. Untuk lingkaran $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$, garis singgungnya adalah $(x-a)(x_1-a)+(y-b)(y_1-b)=r^2$. Mengembangkan persamaan lingkaran standar: $x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2$, atau $x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0$.  Bandingkan dengan $x^2+y^2+Ax+By+C=0$. Maka $A=-2a$, $B=-2b$, $C=a^2+b^2-r^2$. Dari sini $a = -A/2$ dan $b = -B/2$. Persamaan garis singgung menjadi $(x - (-A/2))(x_1 - (-A/2)) + (y - (-B/2))(y_1 - (-B/2)) = r^2$. $(x + A/2)(x_1 + A/2) + (y + B/2)(y_1 + B/2) = r^2$. $xx_1 + x(A/2) + x_1(A/2) + A^2/4 + yy_1 + y(B/2) + y_1(B/2) + B^2/4 = r^2$. $xx_1 + yy_1 + A/2(x+x_1) + B/2(y+y_1) + (A^2+B^2)/4 = r^2$. Karena $C = a^2+b^2-r^2 = (-A/2)^2+(-B/2)^2-r^2 = (A^2+B^2)/4 - r^2$, maka $r^2 = (A^2+B^2)/4 - C$. Substitusikan ini kembali: $xx_1 + yy_1 + A/2(x+x_1) + B/2(y+y_1) + (A^2+B^2)/4 = (A^2+B^2)/4 - C$. $xx_1 + yy_1 + A/2(x+x_1) + B/2(y+y_1) + C = 0$. Ini membuktikan persamaan garis singgung yang diberikan.