Diketahui matriks A = (1 -2 -1 3) dan matriks B = (2 1 -1

Invers dari matriks AB adalah $\begin{pmatrix} 4 & 3 \ -5 & -4 \ \end{pmatrix}$.

Pembahasan

Untuk mencari invers dari perkalian dua matriks AB, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Hitung hasil perkalian matriks AB.
Diketahui matriks A = $\begin{pmatrix} 1 & -2 \ -1 & 3 \ \end{pmatrix}$ dan matriks B = $\begin{pmatrix} 2 & 1 \ -1 & -1 \ \end{pmatrix}$.
Perkalian matriks AB dilakukan dengan mengalikan baris matriks A dengan kolom matriks B.

AB = $\begin{pmatrix} (1)(2)+(-2)(-1) & (1)(1)+(-2)(-1) \ (-1)(2)+(3)(-1) & (-1)(1)+(3)(-1) \ \end{pmatrix}$
AB = $\begin{pmatrix} 2+2 & 1+2 \ -2-3 & -1-3 \ \end{pmatrix}$
AB = $\begin{pmatrix} 4 & 3 \ -5 & -4 \ \end{pmatrix}$

Langkah 2: Cari invers dari matriks hasil perkalian AB.
Misalkan matriks C = AB = $\begin{pmatrix} a & b \ c & d \ \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 4 & 3 \ -5 & -4 \ \end{pmatrix}$.
Rumus invers matriks 2x2 adalah $C^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \ \end{pmatrix}$.

Tentukan determinan (ad-bc):
determinan(AB) = (4)(-4) - (3)(-5) = -16 - (-15) = -16 + 15 = -1.

Sekarang, hitung inversnya:
$(AB)^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -4 & -3 \ -(-5) & 4 \ \end{pmatrix}$
$(AB)^{-1} = -1 \begin{pmatrix} -4 & -3 \ 5 & 4 \ \end{pmatrix}$
$(AB)^{-1} = \begin{pmatrix} (-1)(-4) & (-1)(-3) \ (-1)(5) & (-1)(4) \ \end{pmatrix}$
$(AB)^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \ -5 & -4 \ \end{pmatrix}$

Jadi, invers dari matriks AB adalah $\begin{pmatrix} 4 & 3 \ -5 & -4 \ \end{pmatrix}$.