Diketahui matriks P=(12 4 0 -11), Q=(x 2y -3 4) , dan R=(96

23

Pembahasan

Diketahui matriks P=(12 4 0 -11), Q=(x 2y -3 4), dan R=(96 -20 66 -44).
Kita perlu mencari nilai 2x - y jika PQ^T = R.

Pertama, cari transpose dari matriks Q (Q^T):
Q^T = 
[ x ]
[ 2y ]
[ -3 ]
[ 4 ]

Karena P adalah matriks 1x4 dan Q^T adalah matriks 4x1, hasil perkalian PQ^T akan menjadi matriks 1x1.

PQ^T = (12 4 0 -11) * 
[ x ]
[ 2y ]
[ -3 ]
[ 4 ]

PQ^T = (12*x + 4*(2y) + 0*(-3) + (-11)*4)
PQ^T = (12x + 8y - 0 - 44)
PQ^T = (12x + 8y - 44)

Diketahui PQ^T = R. Namun, matriks R yang diberikan adalah matriks 1x4, sedangkan hasil perkalian PQ^T adalah matriks 1x1. Ada kemungkinan kesalahan dalam penulisan soal atau matriks R.

Asumsikan bahwa R seharusnya adalah matriks 1x1 yang berisi elemen pertama dari matriks R yang diberikan, yaitu R = (96).

Maka:
12x + 8y - 44 = 96
12x + 8y = 96 + 44
12x + 8y = 140

Kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan membagi semua suku dengan 4:
3x + 2y = 35

Dengan informasi ini saja, kita tidak dapat menemukan nilai x dan y secara unik untuk menghitung 2x - y.

Mari kita coba interpretasi lain: Jika P adalah matriks 4x1, Q adalah matriks 1x4, maka PQ^T akan menjadi matriks 4x4.

Asumsikan P = 
[ 12 ]
[ 4  ]
[ 0  ]
[ -11 ]

Dan Q = (x 2y -3 4)

Q^T = 
[ x ]
[ 2y ]
[ -3 ]
[ 4 ]

PQ^T = 
[ 12 ]   * (x 2y -3 4)
[ 4  ]
[ 0  ]
[ -11 ]

Ini juga tidak sesuai karena perkalian matriks semacam ini tidak terdefinisi.

Mari kita kembali ke interpretasi awal di mana P adalah matriks 1x4.

P = (12 4 0 -11)
Q = (x 2y -3 4)
Q^T = 
[ x ]
[ 2y ]
[ -3 ]
[ 4 ]

PQ^T = (12x + 8y - 44)

Jika R = (96 -20 66 -44) adalah hasil perkalian, ini berarti ada kesalahan dalam dimensi matriks atau operasi yang diberikan.

Namun, jika kita mengasumsikan bahwa operasi yang dimaksud adalah perkalian skalar atau ada operasi lain yang tidak disebutkan, kita tidak dapat melanjutkan.

Jika kita mengasumsikan bahwa P dan Q adalah matriks baris dan R adalah hasil dari suatu operasi, dan kita harus menggunakan elemen-elemen R:

Ambil elemen pertama dari R: 96.
Jika PQ^T = 96, maka 12x + 8y - 44 = 96 => 12x + 8y = 140 => 3x + 2y = 35.

Ambil elemen kedua dari R: -20.
Jika ada operasi lain yang menghasilkan elemen kedua ini, kita tidak tahu operasinya.

Kemungkinan lain, P, Q, dan R adalah matriks baris tunggal, dan PQ^T adalah perkalian elemen per elemen atau operasi dot product.

Jika kita menganggap PQ^T = R sebagai kesamaan matriks elemen per elemen, maka:

12x = 96  => x = 96 / 12 => x = 8
4(2y) = -20 => 8y = -20 => y = -20 / 8 => y = -2.5
0(-3) = 66 => 0 = 66 (Ini tidak mungkin)
-11(4) = -44 => -44 = -44 (Ini benar)

Karena ada kontradiksi pada elemen ketiga, asumsi ini salah.

Mari kita kembali ke asumsi awal PQ^T adalah matriks 1x1:
PQ^T = (12x + 8y - 44)

Jika R adalah matriks 1x1 yang berasal dari operasi pada matriks R yang diberikan, misalnya R = (96).

12x + 8y - 44 = 96
12x + 8y = 140
3x + 2y = 35

Tanpa informasi tambahan atau klarifikasi pada soal, tidak mungkin untuk menentukan nilai 2x - y.

Namun, jika soal ini berasal dari konteks di mana P, Q, dan R memiliki dimensi yang sesuai untuk operasi PQ^T = R, dan kita harus menggunakan informasi dari R untuk membentuk sistem persamaan:

Asumsikan P adalah matriks 1x2, Q adalah matriks 1x2.
P = (12 4)
Q = (x 2y)
Q^T = 
[ x ]
[ 2y ]

PQ^T = (12x + 4(2y)) = (12x + 8y)

Jika R = (96), maka 12x + 8y = 96 => 3x + 2y = 24.

Jika P adalah matriks 2x2, Q adalah matriks 2x2.
P = 
[ 12  4 ]
[ 0 -11 ]

Q = 
[ x   2y ]
[ -3  4  ]

Q^T = 
[ x  -3 ]
[ 2y  4 ]

PQ^T = 
[ 12  4 ] * [ x  -3 ] = [ 12x + 4(2y)   12(-3) + 4(4) ] = [ 12x + 8y   -36 + 16 ] = [ 12x + 8y   -20 ]
[ 0 -11 ]   [ 2y  4 ]   [ 0(x) + (-11)(2y)  0(-3) + (-11)(4) ]   [ -22y        -44 ]

Jika PQ^T = R = 
[ 96  -20 ]
[ 66  -44 ]

Maka kita punya sistem persamaan:
1) 12x + 8y = 96
2) -20 = -20 (Konsisten)
3) -22y = 66
4) -44 = -44 (Konsisten)

Dari persamaan (3):
-22y = 66
y = 66 / -22
y = -3

Dari persamaan (1):
12x + 8y = 96
12x + 8(-3) = 96
12x - 24 = 96
12x = 96 + 24
12x = 120
x = 120 / 12
x = 10

Sekarang kita hitung nilai 2x - y:
2x - y = 2(10) - (-3)
2x - y = 20 + 3
2x - y = 23

Jawaban ringkas: Nilai 2x - y adalah 23.