Perhatikan gambar berikut. PQ = 16 cm PR = 12 cm R P S

6akar(5) cm

Pembahasan

Diketahui segitiga PQR siku-siku di P, dengan PQ = 16 cm dan PR = 12 cm. Garis SR membagi sudut PRQ menjadi dua sama besar (sudut PRS = sudut SRQ). Kita perlu mencari panjang RS.

Karena segitiga PQR siku-siku di P, kita dapat menggunakan Teorema Pythagoras untuk mencari panjang QR:
QR^2 = PQ^2 + PR^2
QR^2 = 16^2 + 12^2
QR^2 = 256 + 144
QR^2 = 400
QR = 20 cm

Karena SR adalah garis bagi sudut PRQ, kita dapat menggunakan Teorema Garis Bagi:

PR / QR = PS / SQ

Namun, kita perlu mencari panjang RS. Kita bisa menggunakan sifat garis bagi dalam segitiga. Misalkan panjang RS = x.

Dalam segitiga PQR, SR adalah garis bagi sudut R. Menggunakan sifat garis bagi:

PR / PS = QR / SQ

Kita juga tahu bahwa PS + SQ = PQ = 16 cm.

PR / QR = PS / SQ
12 / 20 = PS / SQ
3 / 5 = PS / SQ

Ini berarti PS = (3/8) * PQ = (3/8) * 16 = 6 cm.
Dan SQ = (5/8) * PQ = (5/8) * 16 = 10 cm.

Sekarang kita bisa menghitung panjang RS menggunakan Teorema Stewart pada segitiga PQR dengan garis SR:

PQ * (SQ^2 + PS^2) = RS^2 * PQ + PS * SQ * PQ
Ini bukan teorema Stewart yang benar.

Mari kita gunakan pendekatan lain. Kita bisa menggunakan hukum cosinus.

Dalam segitiga PQR:
cos R = PR / QR = 12 / 20 = 3/5

Karena SR membagi sudut R, maka sudut PRS = sudut SRQ = R/2.
Kita bisa mencari cos(R/2) menggunakan rumus:
cos(R) = 2cos^2(R/2) - 1
3/5 = 2cos^2(R/2) - 1
8/5 = 2cos^2(R/2)
cos^2(R/2) = 4/5
cos(R/2) = 2/akar(5)

Sekarang gunakan hukum cosinus pada segitiga PRS untuk mencari RS:

PS^2 = PR^2 + RS^2 - 2 * PR * RS * cos(PRS)
PS^2 = PR^2 + RS^2 - 2 * PR * RS * cos(R/2)
6^2 = 12^2 + RS^2 - 2 * 12 * RS * (2/akar(5))
36 = 144 + RS^2 - (48 * RS) / akar(5)
RS^2 - (48/akar(5)) * RS + 108 = 0

Ini menjadi persamaan kuadrat yang rumit.

Mari kita gunakan teorema garis bagi pada panjang sisi. Rumus panjang garis bagi (d) dari sudut C pada segitiga ABC adalah: d^2 = ab - mn, di mana a dan b adalah sisi yang mengapit sudut C, dan m, n adalah bagian sisi ketiga yang dipotong oleh garis bagi.

Dalam segitiga PQR, RS adalah garis bagi sudut R. Sisi yang mengapit sudut R adalah PR dan QR. Bagian sisi PQ yang dipotong adalah PS dan SQ.

RS^2 = PR * QR - PS * SQ
RS^2 = 12 * 20 - 6 * 10
RS^2 = 240 - 60
RS^2 = 180
RS = akar(180)
RS = akar(36 * 5)
RS = 6 * akar(5)

Jadi, panjang RS adalah 6akar(5) cm.