Diketahui P=[cos theta sin theta -sin theta cos theta] ,

$P^2 = \begin{bmatrix} -1/2 & \sqrt{3}/2 \\ -\sqrt{3}/2 & -1/2 \end{bmatrix}$, $P^3 = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$

Pembahasan

Diketahui matriks $P = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$. Kita diminta untuk menghitung $P^2$ dan $P^3$ jika $\theta = 60^{\circ}$.

Langkah 1: Hitung $P^2$.
$P^2 = P \times P = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$
Untuk menghitung hasil perkalian matriks, kita kalikan baris pertama matriks pertama dengan kolom pertama matriks kedua, baris pertama dengan kolom kedua, dan seterusnya.
Elemen pada baris 1, kolom 1:
$(\cos \theta)(\cos \theta) + (\sin \theta)(-\sin \theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$

Elemen pada baris 1, kolom 2:
$(\cos \theta)(\sin \theta) + (\sin \theta)(\cos \theta) = \cos \theta \sin \theta + \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$

Elemen pada baris 2, kolom 1:
$(-\sin \theta)(\cos \theta) + (\cos \theta)(-\sin \theta) = -\sin \theta \cos \theta - \cos \theta \sin \theta = -2 \sin \theta \cos \theta$

Elemen pada baris 2, kolom 2:
$(-\sin \theta)(\sin \theta) + (\cos \theta)(\cos \theta) = -\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$

Menggunakan identitas trigonometri:
$\,\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$
$\,\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$

Maka, $P^2 = \begin{bmatrix} \cos(2\theta) & \sin(2\theta) \\ -\sin(2\theta) & \cos(2\theta) \end{bmatrix}$.

Langkah 2: Hitung $P^3$.
$P^3 = P^2 \times P = \begin{bmatrix} \cos(2\theta) & \sin(2\theta) \\ -\sin(2\theta) & \cos(2\theta) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$

Elemen pada baris 1, kolom 1:
$(\cos(2\theta))(\cos \theta) + (\sin(2\theta))(-\sin \theta) = \cos(2\theta)\cos \theta - \sin(2\theta)\sin \theta$
Ini adalah identitas untuk $\,\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$, dengan $A=2\theta$ dan $B=\theta$, sehingga hasilnya adalah $\,\cos(2\theta + \theta) = \cos(3\theta)$.

Elemen pada baris 1, kolom 2:
$(\cos(2\theta))(\sin \theta) + (\sin(2\theta))(\cos \theta) = \cos(2\theta)\sin \theta + \sin(2\theta)\cos \theta$
Ini adalah identitas untuk $\,\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$, dengan $A=2\theta$ dan $B=\theta$, sehingga hasilnya adalah $\,\sin(2\theta + \theta) = \sin(3\theta)$.

Elemen pada baris 2, kolom 1:
$(-\sin(2\theta))(\cos \theta) + (\cos(2\theta))(-\sin \theta) = -\sin(2\theta)\cos \theta - \cos(2\theta)\sin \theta = -(\sin(2\theta)\cos \theta + \cos(2\theta)\sin \theta)$
Ini adalah $-(\sin(2\theta + \theta)) = -\sin(3\theta)$.

Elemen pada baris 2, kolom 2:
$(-\sin(2\theta))(\sin \theta) + (\cos(2\theta))(\cos \theta) = \cos(2\theta)\cos \theta - \sin(2\theta)\sin \theta$
Ini adalah identitas untuk $\,\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$, dengan $A=2\theta$ dan $B=\theta$, sehingga hasilnya adalah $\,\cos(2\theta + \theta) = \cos(3\theta)$.

Maka, $P^3 = \begin{bmatrix} \cos(3\theta) & \sin(3\theta) \\ -\sin(3\theta) & \cos(3\theta) \end{bmatrix}$.

Langkah 3: Substitusikan $\theta = 60^{\circ}$.

Untuk $P^2$:
$2\theta = 2 \times 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
$\,\cos(120^{\circ}) = -1/2$
$\,\sin(120^{\circ}) = \sqrt{3}/2$

Maka, $P^2 = \begin{bmatrix} -1/2 & \sqrt{3}/2 \\ -\sqrt{3}/2 & -1/2 \end{bmatrix}$.

Untuk $P^3$:
$3\theta = 3 \times 60^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\,\cos(180^{\circ}) = -1$
$\,\sin(180^{\circ}) = 0$

Maka, $P^3 = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.

Jadi, $P^2 = \begin{bmatrix} -1/2 & \sqrt{3}/2 \\ -\sqrt{3}/2 & -1/2 \end{bmatrix}$ dan $P^3 = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.