Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12mathKalkulus

lim _(x -> tak hingga) (1-cos ((2)/(x)))/(sin ^(2)

Pertanyaan

lim (1-cos((2)/(x)))/(sin ^(2)(1)/(x)) saat x mendekati tak hingga adalah ....

Solusi

Verified

Hasil limitnya adalah 2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan substitusi u = 1/x. Ketika x mendekati tak hingga, u akan mendekati 0. Soal: lim (1 - cos(2/x)) / (sin^2(1/x)) untuk x -> tak hingga Ganti 1/x dengan u: lim (1 - cos(2u)) / (sin^2(u)) untuk u -> 0 Kita tahu bahwa sin(2u) = 2sin(u)cos(u) dan cos(2u) = 1 - 2sin^2(u). Dengan menggunakan identitas trigonometri cos(2u) = 1 - 2sin^2(u), kita bisa menyederhanakan bagian pembilang: 1 - cos(2u) = 1 - (1 - 2sin^2(u)) = 2sin^2(u) Substitusikan kembali ke dalam limit: lim (2sin^2(u)) / (sin^2(u)) untuk u -> 0 Kita bisa membatalkan sin^2(u) di pembilang dan penyebut (karena u mendekati 0, sin^2(u) tidak sama dengan 0): lim 2 untuk u -> 0 Hasilnya adalah 2. Alternatif lain menggunakan identitas limit trigonometri standar: lim (1 - cos(ax)) / x^2 = a^2 / 2 dan lim sin(bx)/x = b Kita perlu manipulasi soal agar sesuai dengan identitas tersebut: lim (1 - cos(2/x)) / (sin^2(1/x)) untuk x -> tak hingga Kita tahu sin(y) ≈ y untuk y yang mendekati 0. Jadi, sin^2(1/x) ≈ (1/x)^2 = 1/x^2 untuk x yang mendekati tak hingga. Untuk pembilang, kita bisa menggunakan limit lim (1 - cos(ax)) / x^2 = a^2 / 2. Namun, di sini kita memiliki (1 - cos(2/x)). Agar sesuai, kita perlu mengalikan dan membagi dengan (2/x)^2 dan mengalikan dengan 4 (karena a=2, maka a^2=4). lim (1 - cos(2/x)) / (1/x^2) * (1/x^2) / sin^2(1/x) lim (1 - cos(2/x)) / (1/x^2) = 2^2 = 4 lim (1/x^2) / sin^2(1/x) = lim 1 / (sin(1/x) / (1/x))^2 = 1 / (1)^2 = 1 Jadi, hasil limitnya adalah 4 * 1 = 4. Ada kesalahan dalam pendekatan pertama. Mari kita perbaiki pendekatan pertama: lim (1 - cos(2u)) / (sin^2(u)) untuk u -> 0 Kita tahu 1 - cos(2u) = 2sin^2(u). Jadi limitnya menjadi: lim (2sin^2(u)) / (sin^2(u)) = 2. Mari kita periksa identitas: lim (1 - cos(x))/x^2 = 1/2. Maka lim (1 - cos(2u))/(2u)^2 = 1/2. Ini berarti 1 - cos(2u) = (1/2)*(2u)^2 = 2u^2. Jadi lim (1 - cos(2u)) / u^2 = 2. Limit kita adalah: lim (1 - cos(2u)) / sin^2(u) untuk u -> 0. Kita gunakan sin(u) ~ u untuk u mendekati 0. Jadi sin^2(u) ~ u^2. Limit menjadi: lim (1 - cos(2u)) / u^2 untuk u -> 0. Menggunakan identitas 1 - cos(2u) = 2sin^2(u): lim 2sin^2(u) / u^2 = 2 * lim (sin(u)/u)^2 = 2 * (1)^2 = 2. Jadi, hasil limitnya adalah 2.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Limit Fungsi Trigonometri
Section: Limit Di Ketakhinggaan

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...