lim _(x -> tak hingga) (1-cos ((2)/(x)))/(sin ^(2)

Hasil limitnya adalah 2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan substitusi u = 1/x. Ketika x mendekati tak hingga, u akan mendekati 0.

Soal: lim (1 - cos(2/x)) / (sin^2(1/x)) untuk x -> tak hingga

Ganti 1/x dengan u:
lim (1 - cos(2u)) / (sin^2(u)) untuk u -> 0

Kita tahu bahwa sin(2u) = 2sin(u)cos(u) dan cos(2u) = 1 - 2sin^2(u).
Dengan menggunakan identitas trigonometri cos(2u) = 1 - 2sin^2(u), kita bisa menyederhanakan bagian pembilang:
1 - cos(2u) = 1 - (1 - 2sin^2(u)) = 2sin^2(u)

Substitusikan kembali ke dalam limit:
lim (2sin^2(u)) / (sin^2(u)) untuk u -> 0

Kita bisa membatalkan sin^2(u) di pembilang dan penyebut (karena u mendekati 0, sin^2(u) tidak sama dengan 0):
lim 2 untuk u -> 0

Hasilnya adalah 2.

Alternatif lain menggunakan identitas limit trigonometri standar:
lim (1 - cos(ax)) / x^2 = a^2 / 2  dan lim sin(bx)/x = b

Kita perlu manipulasi soal agar sesuai dengan identitas tersebut:
lim (1 - cos(2/x)) / (sin^2(1/x)) untuk x -> tak hingga

Kita tahu sin(y) ≈ y untuk y yang mendekati 0. Jadi, sin^2(1/x) ≈ (1/x)^2 = 1/x^2 untuk x yang mendekati tak hingga.

Untuk pembilang, kita bisa menggunakan limit lim (1 - cos(ax)) / x^2 = a^2 / 2. Namun, di sini kita memiliki (1 - cos(2/x)). Agar sesuai, kita perlu mengalikan dan membagi dengan (2/x)^2 dan mengalikan dengan 4 (karena a=2, maka a^2=4).

lim (1 - cos(2/x)) / (1/x^2) * (1/x^2) / sin^2(1/x)

lim (1 - cos(2/x)) / (1/x^2) = 2^2 = 4

lim (1/x^2) / sin^2(1/x) = lim 1 / (sin(1/x) / (1/x))^2 = 1 / (1)^2 = 1

Jadi, hasil limitnya adalah 4 * 1 = 4. Ada kesalahan dalam pendekatan pertama.

Mari kita perbaiki pendekatan pertama:
lim (1 - cos(2u)) / (sin^2(u)) untuk u -> 0
Kita tahu 1 - cos(2u) = 2sin^2(u).
Jadi limitnya menjadi:
lim (2sin^2(u)) / (sin^2(u)) = 2.

Mari kita periksa identitas: lim (1 - cos(x))/x^2 = 1/2. Maka lim (1 - cos(2u))/(2u)^2 = 1/2. Ini berarti 1 - cos(2u) = (1/2)*(2u)^2 = 2u^2.
Jadi lim (1 - cos(2u)) / u^2 = 2.

Limit kita adalah: lim (1 - cos(2u)) / sin^2(u) untuk u -> 0.
Kita gunakan sin(u) ~ u untuk u mendekati 0.
Jadi sin^2(u) ~ u^2.

Limit menjadi: lim (1 - cos(2u)) / u^2 untuk u -> 0.
Menggunakan identitas 1 - cos(2u) = 2sin^2(u):
lim 2sin^2(u) / u^2 = 2 * lim (sin(u)/u)^2 = 2 * (1)^2 = 2.

Jadi, hasil limitnya adalah 2.