Diketahui pernyataan-pernyataan berikut. (i)

(iii) dan (iv)

Pembahasan

Mari kita analisis setiap pernyataan:

(i) 2,713^(3,14) < 3,14^(2,713)
Untuk membandingkan kedua bilangan ini, kita bisa membandingkan fungsi f(x) = x^(1/x). Jika kita punya a^b dibandingkan dengan b^a, kita bisa membandingkan a^(1/a) dengan b^(1/b). Dalam kasus ini, kita bandingkan 2.713^(1/2.713) dengan 3.14^(1/3.14).
Fungsi f(x) = x^(1/x) atau ln(f(x)) = (ln x)/x. Turunannya adalah (1 - ln x)/x². Turunan ini positif untuk x < e (sekitar 2.718) dan negatif untuk x > e. Karena 2.713 < e < 3.14, maka f(2.713) > f(3.14). Ini berarti 2.713^(1/2.713) > 3.14^(1/3.14), atau 2.713^3.14 > 3.14^2.713. Jadi, pernyataan (i) salah.

(ii) 10⁸ > 8¹⁰
Untuk membandingkan, kita bisa gunakan logaritma atau pangkat yang sama. Mari kita sederhanakan basis dan pangkatnya:
10⁸ = (10²)⁴ = 100⁴
8¹⁰ = (8⁵)² = (32768)²
Atau, kita bisa ubah menjadi basis yang sama jika memungkinkan, atau bandingkan (10⁸)^(1/80) dengan (8¹⁰)^(1/80).
(10⁸)^(1/80) = 10^(8/80) = 10^(1/10)
(8¹⁰)^(1/80) = 8^(10/80) = 8^(1/8)
Sekarang bandingkan 10^(1/10) dengan 8^(1/8).
Kita bisa bandingkan (10^(1/10))⁸⁰ = 10⁸ dengan (8^(1/8))⁸⁰ = 8¹⁰.
10⁸ = 100.000.000
8¹⁰ = (2³)¹⁰ = 2³⁰ = (2¹⁰)³ = (1024)³ ≈ (10³)³ = 10⁹
Secara lebih akurat, 8¹⁰ = 1.073.741.824.
Jadi, 10⁸ < 8¹⁰. Pernyataan (ii) salah.

(iii) 99¹⁰⁰ < 100¹⁰⁰
Ini jelas benar karena basis 99 lebih kecil dari basis 100, dan pangkatnya sama.

(iv) 300³⁰¹ > 301³⁰⁰
Kita bisa bandingkan dengan membagi kedua sisi dengan 300³⁰⁰:
300³⁰¹ / 300³⁰⁰ > 301³⁰⁰ / 300³⁰⁰
300 > (301/300)³⁰⁰
300 > (1 + 1/300)³⁰⁰
Kita tahu bahwa batas dari (1 + 1/n)ⁿ saat n mendekati tak hingga adalah e (sekitar 2.718). Karena 300 cukup besar, (1 + 1/300)³⁰⁰ akan mendekati e.
Jadi, kita membandingkan 300 dengan nilai yang mendekati e. Jelas bahwa 300 > e.
Pernyataan (iv) benar.

Dari analisis di atas, pernyataan yang benar adalah (iii) dan (iv).