Diketahui persamaan garis-garis berikut. (i) x + 2y=7 (iii)

Garis (i) dan (iv).

Pembahasan

Untuk menentukan garis mana yang memotong lingkaran (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 8 di dua titik, kita perlu memeriksa jarak dari pusat lingkaran ke setiap garis. Pusat lingkaran adalah (-1, 2) dan jari-jarinya adalah sqrt(8) = 2*sqrt(2).

Jarak dari titik (x0, y0) ke garis Ax + By + C = 0 adalah |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2).

(i) x + 2y - 7 = 0. Jarak = |1(-1) + 2(2) - 7| / sqrt(1^2 + 2^2) = |-1 + 4 - 7| / sqrt(5) = |-4| / sqrt(5) = 4/sqrt(5) ≈ 1.79. Karena 1.79 < 2.83 (jari-jari), maka garis ini memotong di dua titik.

(ii) x - y + 7 = 0. Jarak = |1(-1) - 1(2) + 7| / sqrt(1^2 + (-1)^2) = |-1 - 2 + 7| / sqrt(2) = |4| / sqrt(2) = 4/sqrt(2) = 2*sqrt(2) ≈ 2.83. Karena jarak sama dengan jari-jari, maka garis ini menyinggung lingkaran di satu titik.

(iii) x - 2y - 2 = 0. Jarak = |1(-1) - 2(2) - 2| / sqrt(1^2 + (-2)^2) = |-1 - 4 - 2| / sqrt(5) = |-7| / sqrt(5) = 7/sqrt(5) ≈ 3.13. Karena 3.13 > 2.83, maka garis ini tidak memotong lingkaran.

(iv) x + y - 1 = 0. Jarak = |1(-1) + 1(2) - 1| / sqrt(1^2 + 1^2) = |-1 + 2 - 1| / sqrt(2) = |0| / sqrt(2) = 0. Karena jaraknya 0, maka garis ini melalui pusat lingkaran dan memotong di dua titik.

Jadi, garis yang memotong lingkaran di dua titik adalah (i) dan (iv).