Diketahui persegi A1B1C1D1, A2B2C2D2, ..., AkBkCkDk. Dalam

2 + \sqrt{2}

Pembahasan

Perbandingan antara keliling persegi AkBkCkDk (Kk) dengan keliling persegi Ak-1Bk-1Ck-1Dk-1 (Kk-1) adalah sebagai berikut:

Misalkan panjang sisi persegi AkBkCkDk adalah $s_k$. Maka kelilingnya adalah $K_k = 4s_k$.

Karena Ak adalah titik tengah A(k-1)B(k-1), Bk adalah titik tengah B(k-1)C(k-1), Ck adalah titik tengah C(k-1)D(k-1), dan Dk adalah titik tengah D(k-1)A(k-1), maka segitiga A(k-1)ABk adalah segitiga siku-siku sama kaki. Panjang sisi AkBk dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras:
$s_k^2 = (s_{k-1}/2)^2 + (s_{k-1}/2)^2$
$s_k^2 = s_{k-1}^2/4 + s_{k-1}^2/4$
$s_k^2 = 2 * s_{k-1}^2/4$
$s_k^2 = s_{k-1}^2/2$
$s_k = s_{k-1} / \sqrt{2}$

Dengan demikian, keliling Kk adalah:
$K_k = 4s_k = 4(s_{k-1} / \sqrt{2}) = (4s_{k-1}) / \sqrt{2} = K_{k-1} / \sqrt{2}$

Ini menunjukkan bahwa keliling setiap persegi berikutnya adalah $1/\sqrt{2}$ kali keliling persegi sebelumnya. Jadi, deret keliling K1, K2, K3, ... adalah deret geometri dengan rasio $r = 1/\sqrt{2}$.

Jumlah tak hingga deret geometri adalah S = k1 + k2 + k3 + ... + kk + ...
Karena ini adalah deret geometri dengan suku pertama k1 dan rasio $r = 1/\sqrt{2}$, maka jumlahnya adalah:
$S = k1 / (1 - r)$
$S = k1 / (1 - 1/\sqrt{2})$
$S = k1 / ((\sqrt{2} - 1) / \sqrt{2})$
$S = k1 * \sqrt{2} / (\sqrt{2} - 1)$

Sekarang kita perlu mencari nilai S/k1:
$S/k1 = \sqrt{2} / (\sqrt{2} - 1)$

Untuk merasionalkan penyebut, kita kalikan dengan sekawan:
$S/k1 = (\sqrt{2} * (\sqrt{2} + 1)) / ((\sqrt{2} - 1) * (\sqrt{2} + 1))$
$S/k1 = (2 + \sqrt{2}) / (2 - 1)$
$S/k1 = 2 + \sqrt{2}$