Diketahui persegi panjang OACB dan D titik tengah OA, CD

$- \frac{1}{3} \mathbf{a} - \frac{2}{3} \mathbf{b}$

Pembahasan

Untuk menemukan vektor CP, kita akan menggunakan vektor posisi dan sifat-sifat vektor.

Diketahui:
Persegi panjang OACB.
O adalah titik pangkal (0,0).
D adalah titik tengah OA.
CD memotong diagonal AB di P.
vektor OA = vektor a
vektor OB = vektor b

Dalam persegi panjang OACB, kita memiliki:
vektor OC = vektor OA + vektor AC = vektor a + vektor b (karena AC sejajar OB dan sama panjang)
vektor OA = vektor a
vektor OB = vektor b
vektor AC = vektor OB = vektor b
vektor BC = vektor OA = vektor a

D adalah titik tengah OA, maka vektor OD = 1/2 * vektor OA = 1/2 * vektor a.

Sekarang kita tinjau garis CD. Titik C memiliki vektor posisi OC = a + b, dan titik D memiliki vektor posisi OD = 1/2 a.
Persamaan vektor untuk garis CD dapat ditulis sebagai:
vektor r_CD = vektor OC + t * (vektor OD - vektor OC)
vektor r_CD = (a + b) + t * (1/2 a - (a + b))
vektor r_CD = (a + b) + t * (-1/2 a - b)
vektor r_CD = a + b - 1/2 t a - t b
vektor r_CD = (1 - 1/2 t) a + (1 - t) b

Sekarang kita tinjau garis AB. Titik A memiliki vektor posisi OA = a, dan titik B memiliki vektor posisi OB = b.
Persamaan vektor untuk garis AB dapat ditulis sebagai:
vektor r_AB = vektor OA + s * (vektor OB - vektor OA)
vektor r_AB = a + s * (b - a)
vektor r_AB = a + s b - s a
vektor r_AB = (1 - s) a + s b

Titik P adalah perpotongan garis CD dan AB. Oleh karena itu, vektor posisi P pada kedua garis harus sama.
vektor r_P = (1 - 1/2 t) a + (1 - t) b
vektor r_P = (1 - s) a + s b

Karena a dan b adalah vektor basis yang tidak sejajar, koefisien dari a dan b harus sama.
Koefisien a: 1 - 1/2 t = 1 - s  =>  -1/2 t = -s  => s = 1/2 t
Koefisien b: 1 - t = s

Substitusikan s = 1/2 t ke dalam persamaan kedua:
1 - t = 1/2 t
1 = t + 1/2 t
1 = 3/2 t
t = 2/3

Sekarang kita temukan nilai s:
s = 1/2 t = 1/2 * (2/3) = 1/3

Kita perlu mencari vektor CP. Titik C memiliki vektor posisi OC = a + b, dan titik P memiliki vektor posisi OP (yang sama dengan vektor r_AB atau r_CD saat t atau s memiliki nilai yang ditemukan).
Mari kita gunakan persamaan garis AB untuk vektor OP:
vektor OP = (1 - s) a + s b
vektor OP = (1 - 1/3) a + 1/3 b
vektor OP = 2/3 a + 1/3 b

Vektor CP dapat dihitung sebagai vektor OP - vektor OC:
vektor CP = vektor OP - vektor OC
vektor CP = (2/3 a + 1/3 b) - (a + b)
vektor CP = 2/3 a + 1/3 b - a - b
vektor CP = (2/3 - 1) a + (1/3 - 1) b
vektor CP = -1/3 a - 2/3 b

Atau, kita bisa menggunakan persamaan garis CD untuk vektor OP:
vektor OP = (1 - 1/2 t) a + (1 - t) b
vektor OP = (1 - 1/2 * 2/3) a + (1 - 2/3) b
vektor OP = (1 - 1/3) a + 1/3 b
vektor OP = 2/3 a + 1/3 b

Kemudian vektor CP = vektor OP - vektor OC:
vektor CP = (2/3 a + 1/3 b) - (a + b)
vektor CP = -1/3 a - 2/3 b

Ada kemungkinan kesalahan dalam interpretasi atau perhitungan. Mari kita periksa ulang dengan menggunakan perbandingan rasio pada garis.

Karena P pada AB, maka AP:PB = s:(1-s). Kita dapat menulis vektor AP = s * vektor AB.
vektor AB = vektor OB - vektor OA = b - a.
vektor AP = s(b - a).
vektor OP = vektor OA + vektor AP = a + s(b - a) = (1-s)a + sb.

Karena P pada CD, maka CP:PD = t:(1-t) atau bisa juga menggunakan parameter lain. Mari kita gunakan rasio.
Misalkan P membagi CD dalam rasio m:n, sehingga vektor OP = (n*OC + m*OD)/(m+n).
Kita tahu OD = 1/2 a dan OC = a + b.
vektor OP = (n(a+b) + m(1/2 a))/(m+n) = ((n + m/2)a + nb)/(m+n).

Menyamakan koefisien a dan b dari kedua ekspresi untuk OP:
(1-s)a + sb = ((n + m/2)a + nb)/(m+n)

Dari koefisien b:
s = n/(m+n)
1-s = (m+n-n)/(m+n) = m/(m+n)

Dari koefisien a:
1-s = (n + m/2)/(m+n)

Substitusikan 1-s = m/(m+n):
m/(m+n) = (n + m/2)/(m+n)
m = n + m/2
m - m/2 = n
m/2 = n
m = 2n

Ini berarti rasio CP:PD = m:n = 2n:n = 2:1.
Jadi, P membagi CD dalam rasio 2:1.

Dengan rasio CP:PD = 2:1, maka vektor CP = 2/3 * vektor CD.
Namun, ini jika P berada di antara C dan D. Kita perlu menentukan posisi P relatif terhadap C dan D.

Jika P membagi CD dalam rasio m:n (yaitu CP/PD = m/n), maka vektor OP = (n*OC + m*OD)/(m+n).
Kita temukan rasio m:n = 2:1.
vektor OP = (1*OC + 2*OD)/(1+2)
vektor OP = (1*(a+b) + 2*(1/2 a))/3
vektor OP = (a + b + a)/3
vektor OP = (2a + b)/3
vektor OP = 2/3 a + 1/3 b

Ini konsisten dengan hasil sebelumnya.

Sekarang kita hitung vektor CP:
vektor CP = vektor OP - vektor OC
vektor CP = (2/3 a + 1/3 b) - (a + b)
vektor CP = 2/3 a + 1/3 b - a - b
vektor CP = (2/3 - 1) a + (1/3 - 1) b
vektor CP = -1/3 a - 2/3 b

Ada kemungkinan saya salah menginterpretasikan vektor CP yang diminta. Apakah itu vektor dari C ke P, atau komponen vektor P dari C?
Diasumsikan vektor CP adalah vektor dari C ke P.

Mari kita coba cara lain. Parameterisasi garis.
Garis CD: r = OC + t(OD - OC) = (a+b) + t(1/2 a - (a+b)) = (a+b) + t(-1/2 a - b) = (1 - t/2)a + (1-t)b
Garis AB: r = OA + s(OB - OA) = a + s(b-a) = (1-s)a + sb

Pada perpotongan P:
1 - t/2 = 1 - s  => s = t/2
1 - t = s

Substitusi s = t/2 ke persamaan kedua:
1 - t = t/2
1 = t + t/2
1 = 3t/2
t = 2/3

s = t/2 = (2/3)/2 = 1/3

Vektor OP dapat ditemukan dengan memasukkan nilai t atau s:
Dari garis AB: OP = (1 - 1/3)a + (1/3)b = 2/3 a + 1/3 b
Dari garis CD: OP = (1 - (2/3)/2)a + (1 - 2/3)b = (1 - 1/3)a + (1/3)b = 2/3 a + 1/3 b

Vektor CP = OP - OC
CP = (2/3 a + 1/3 b) - (a + b)
CP = (2/3 - 1)a + (1/3 - 1)b
CP = -1/3 a - 2/3 b

Ini masih sama. Mari kita periksa soalnya lagi. Mungkin ada pilihan jawaban yang berbeda.
Jika vektor CP diminta sebagai kelipatan dari vektor CD atau vektor lainnya.

Perhatikan bahwa P terletak pada segmen AB dan CD. Kita tahu bahwa P membagi AB dalam rasio AP:PB = s:(1-s) = 1/3 : 2/3 = 1:2.
Kita juga tahu bahwa P membagi CD dalam rasio CP:PD = t:(1-t) jika kita menggunakan parameter t dari C ke D. Tapi kita menggunakan parameter t dari D ke C (OD - OC). Jadi rasio yang kita dapatkan dari t adalah PD:PC = t:(1-t). Jadi PD:PC = 2/3 : 1/3 = 2:1.
Ini berarti P membagi CD sehingga CP lebih pendek dari PD. Rasio CP:PD = 1:2.

Jika CP:PD = 1:2, maka vektor CP = 1/3 * vektor CD.
vektor CD = OD - OC = 1/2 a - (a + b) = -1/2 a - b.
vektor CP = 1/3 * (-1/2 a - b) = -1/6 a - 1/3 b.

Ini berbeda lagi. Mari kita pastikan definisi parameter.
Jika garis CD dinyatakan sebagai r = OC + t(OD - OC), maka t=0 memberikan C dan t=1 memberikan D. P berada di antara C dan D.
Dalam kasus ini, vektor OP = OC + t(OD - OC).
Kita menemukan t = 2/3 untuk titik P.
Jadi, vektor OP = OC + 2/3 (OD - OC).
OP - OC = 2/3 (OD - OC)
vektor CP = 2/3 * vektor CD.

Jika vektor CD = OD - OC = (1/2 a) - (a + b) = -1/2 a - b.
vektor CP = 2/3 * (-1/2 a - b) = -1/3 a - 2/3 b.

Ini konsisten dengan hasil sebelumnya. Namun, biasanya dalam soal seperti ini, jawaban dinyatakan sebagai kelipatan dari vektor basis (a atau b) atau vektor yang diketahui (seperti OA, OB, OC, OD).

Mari kita cek rasio perbandingan pada segmen AB. P membagi AB dalam rasio AP:PB = s:(1-s). Kita dapatkan s = 1/3. Jadi AP:PB = 1/3 : 2/3 = 1:2.
Ini berarti vektor AP = 1/3 vektor AB.
vektor AB = OB - OA = b - a.
vektor AP = 1/3 (b - a) = 1/3 b - 1/3 a.

Sekarang kita cari vektor CP. Kita bisa menghitungnya sebagai vektor CA + vektor AP.
vektor CA = -vektor AC = -vektor OB = -b.
vektor CP = vektor CA + vektor AP
vektor CP = -b + (1/3 b - 1/3 a)
vektor CP = -1/3 a + (1/3 - 1) b
vektor CP = -1/3 a - 2/3 b.

Ini masih sama. Kemungkinan ada cara lain untuk menyatakan jawaban tersebut, atau ada kesalahan dalam soal atau pilihan jawaban (jika ada). Namun, berdasarkan perhitungan yang konsisten, vektor CP = -1/3 a - 2/3 b.

Jika pertanyaannya adalah besar vektor CP, kita perlu mengetahui besar a dan b serta sudut di antara mereka. Namun, pertanyaannya adalah vektor CP dapat dinyatakan sebagai...

Mari kita coba menghitung vektor PC.
vektor PC = OC - OP = (a+b) - (2/3 a + 1/3 b) = (1 - 2/3)a + (1 - 1/3)b = 1/3 a + 2/3 b.

Jika vektor CP yang dimaksud adalah sama dengan vektor PC tetapi arahnya berlawanan, maka vektor CP = - (1/3 a + 2/3 b) = -1/3 a - 2/3 b. Ini sama.

Mari kita lihat kembali rasio perbandingan. P membagi CD dalam rasio 2:1 (CP:PD = 2:1). Ini berarti P lebih dekat ke D daripada ke C. Ini bertentangan dengan pemahaman bahwa P membagi AB dalam rasio 1:2 (AP:PB = 1:2), yang berarti P lebih dekat ke A daripada ke B.

Mari kita ulangi parameterisasi.
Garis CD: r = (1-t)OC + tOD. t=0 -> C, t=1 -> D.
r = (1-t)(a+b) + t(1/2 a) = (1-t)a + (1-t)b + t/2 a = (1 - t + t/2)a + (1-t)b = (1 - t/2)a + (1-t)b.
Ini sama dengan sebelumnya.

Garis AB: r = (1-s)OA + sOB. s=0 -> A, s=1 -> B.
r = (1-s)a + sb.

Perpotongan:
1 - t/2 = 1 - s  => s = t/2
1 - t = s

Substitusi s = t/2 ke persamaan kedua:
1 - t = t/2
1 = 3t/2
t = 2/3.

s = t/2 = 1/3.

Nilai t=2/3 pada garis CD (r = (1-t)OC + tOD) berarti P membagi CD dalam rasio t:(1-t) jika diukur dari C.
Jadi, CP:PD = t:(1-t) = 2/3 : 1/3 = 2:1.

Dengan rasio CP:PD = 2:1, maka vektor CP = 2/3 * vektor CD.
vektor CD = OD - OC = 1/2 a - (a + b) = -1/2 a - b.
vektor CP = 2/3 * (-1/2 a - b) = -1/3 a - 2/3 b.

Jika rasio CP:PD = 1:2, maka vektor CP = 1/3 * vektor CD.
vektor CP = 1/3 * (-1/2 a - b) = -1/6 a - 1/3 b.

Perbedaan ini muncul dari bagaimana parameter t didefinisikan dalam persamaan garis. Jika garis CD dinyatakan sebagai r = OC + t(OD - OC), maka t=0 adalah C, t=1 adalah D. Rasio CP:PD = t : (1-t).
Jika garis CD dinyatakan sebagai r = OD + t(OC - OD), maka t=0 adalah D, t=1 adalah C. Rasio DP:PC = t : (1-t).

Kita gunakan r = OC + t(OD - OC). Kita dapatkan t = 2/3. Maka CP:PD = 2/3 : (1 - 2/3) = 2/3 : 1/3 = 2:1.

Jadi, vektor CP = 2/3 * vektor CD.
vektor CD = OD - OC = 1/2 a - (a + b) = -1/2 a - b.
vektor CP = 2/3 * (-1/2 a - b) = -1/3 a - 2/3 b.

Ini adalah jawaban yang paling konsisten. Jika ada pilihan jawaban lain, mungkin formatnya berbeda.

Misalnya, jika vektor CP diminta sebagai kelipatan dari vektor CO dan CD.

Mari kita periksa apakah ada hubungan sederhana antara P dan vektor-vektor basis.
OP = 2/3 a + 1/3 b.

Jika kita menganggap O sebagai pusat koordinat.
A = (a_x, a_y)
B = (b_x, b_y)
C = A + B = (a_x+b_x, a_y+b_y)
D = 1/2 A = (1/2 a_x, 1/2 a_y)

P membagi AB dengan rasio 1:2.
Px = (2*Ax + 1*Bx)/(1+2) = (2a_x + b_x)/3
Py = (2*Ay + 1*By)/(1+2) = (2a_y + b_y)/3

vektor OP = ( (2a_x + b_x)/3 , (2a_y + b_y)/3 ) = 2/3 (a_x, a_y) + 1/3 (b_x, b_y) = 2/3 a + 1/3 b.
Ini mengkonfirmasi vektor OP.

Sekarang hitung vektor CP.
vektor CP = P - C = ( (2a_x + b_x)/3 - (a_x+b_x), (2a_y + b_y)/3 - (a_y+b_y) )
CPx = (2a_x + b_x - 3a_x - 3b_x)/3 = (-a_x - 2b_x)/3 = -1/3 a_x - 2/3 b_x
CPy = (2a_y + b_y - 3a_y - 3b_y)/3 = (-a_y - 2b_y)/3 = -1/3 a_y - 2/3 b_y

Jadi, vektor CP = (-1/3 a_x - 2/3 b_x, -1/3 a_y - 2/3 b_y) = -1/3 (a_x, a_y) - 2/3 (b_x, b_y) = -1/3 a - 2/3 b.

Jawaban yang paling mungkin adalah -1/3 a - 2/3 b.