Diketahui polinomial f(x) = 2x^4 + px^3 + qx. Jika f(x)

Nilai p = -5/3 dan q = -67/3.

Pembahasan

Diketahui polinomial f(x) = 2x⁴ + px³ + qx. Jika f(x) dibagi x² - 2x - 3 bersisa 6x + 32. Kita dapat menggunakan Teorema Sisa Polinomial. Pertama, faktorkan pembagi x² - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1). 

Menurut Teorema Sisa, jika polinomial f(x) dibagi oleh (x - a)(x - b), maka sisanya adalah R(x). 
Ketika f(x) dibagi (x - 3), sisanya adalah f(3). Karena sisanya adalah 6x + 32, maka kita substitusikan x=3 ke sisa tersebut: R(3) = 6(3) + 32 = 18 + 32 = 50. Jadi, f(3) = 50. 
Substitusikan x=3 ke f(x): f(3) = 2(3)⁴ + p(3)³ + q(3) = 2(81) + 27p + 3q = 162 + 27p + 3q. 
Karena f(3) = 50, maka 162 + 27p + 3q = 50. 
27p + 3q = 50 - 162 
27p + 3q = -112 ... (Persamaan 1)

Ketika f(x) dibagi (x + 1), sisanya adalah f(-1). Substitusikan x=-1 ke sisa 6x + 32: R(-1) = 6(-1) + 32 = -6 + 32 = 26. Jadi, f(-1) = 26. 
Substitusikan x=-1 ke f(x): f(-1) = 2(-1)⁴ + p(-1)³ + q(-1) = 2(1) + p(-1) - q = 2 - p - q. 
Karena f(-1) = 26, maka 2 - p - q = 26. 
-p - q = 26 - 2 
-p - q = 24 
 p + q = -24 ... (Persamaan 2)

Sekarang kita punya sistem dua persamaan linear dengan dua variabel p dan q:
1) 27p + 3q = -112
2) p + q = -24

Dari Persamaan 2, kita bisa dapatkan q = -24 - p. Substitusikan ini ke Persamaan 1:
27p + 3(-24 - p) = -112
27p - 72 - 3p = -112
24p = -112 + 72
24p = -40
p = -40 / 24
p = -5 / 3

Sekarang cari nilai q menggunakan Persamaan 2: q = -24 - p
q = -24 - (-5/3)
q = -24 + 5/3
q = (-72 + 5) / 3
q = -67 / 3

Jadi, nilai p = -5/3 dan nilai q = -67/3.