Diketahui segitiga ABC di samping dengan garis-garis berat

Kedua perbandingan tersebut terbukti benar berdasarkan sifat titik berat segitiga yang membagi garis berat dengan perbandingan 2:1.

Pembahasan

Dalam sebuah segitiga, garis berat adalah garis yang ditarik dari salah satu sudut segitiga ke titik tengah sisi di hadapannya. Titik perpotongan ketiga garis berat disebut titik berat (centroid), yang biasanya dilambangkan dengan Z.

Sifat-sifat titik berat:
1. Titik berat membagi setiap garis berat menjadi dua bagian dengan perbandingan 2:1.
2. Bagian yang lebih panjang adalah bagian yang menghubungkan sudut ke titik berat, dan bagian yang lebih pendek adalah bagian yang menghubungkan titik berat ke titik tengah sisi.

Dalam segitiga ABC dengan garis-garis berat AD, BE, dan CF yang berpotongan di Z:

a. Bukti BZ:EZ = 2:1
BE adalah garis berat dari sudut B ke titik tengah sisi AC (yaitu E). Titik Z adalah titik berat segitiga ABC. Sesuai dengan sifat titik berat, titik berat membagi garis berat BE dengan perbandingan 2:1, di mana BZ adalah bagian yang lebih panjang (dari sudut ke titik berat) dan EZ adalah bagian yang lebih pendek (dari titik berat ke titik tengah sisi). Oleh karena itu, BZ:EZ = 2:1.

b. Bukti AZ:DZ = 2:1
AD adalah garis berat dari sudut A ke titik tengah sisi BC (yaitu D). Titik Z adalah titik berat segitiga ABC. Sesuai dengan sifat titik berat, titik berat membagi garis berat AD dengan perbandingan 2:1, di mana AZ adalah bagian yang lebih panjang (dari sudut ke titik berat) dan DZ adalah bagian yang lebih pendek (dari titik berat ke titik tengah sisi). Oleh karena itu, AZ:DZ = 2:1.

Kesimpulan:
Kedua pernyataan tersebut terbukti benar berdasarkan sifat-sifat titik berat segitiga.