Diketahui sistem pertidaksamaan linear x+y>=2; 5x+2y<=10;

Nilai minimum fungsi objektif adalah 6 pada titik (0, 2).

Pembahasan

Untuk mencari nilai minimum fungsi objektif f(x, y) = 4x + 3y pada daerah yang dibatasi oleh sistem pertidaksamaan linear, kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah penyelesaian terlebih dahulu.

Sistem Pertidaksamaan:
1. x + y >= 2
2. 5x + 2y <= 10
3. x >= 0
4. y >= 0

Langkah 1: Tentukan titik potong dari garis-garis yang berkaitan dengan pertidaksamaan.

   * Garis 1: x + y = 2
     - Jika x = 0, maka y = 2. Titik: (0, 2)
     - Jika y = 0, maka x = 2. Titik: (2, 0)

   * Garis 2: 5x + 2y = 10
     - Jika x = 0, maka 2y = 10 => y = 5. Titik: (0, 5)
     - Jika y = 0, maka 5x = 10 => x = 2. Titik: (2, 0)

   * Garis 3: x = 0 (sumbu y)
   * Garis 4: y = 0 (sumbu x)

Langkah 2: Cari titik potong antara garis-garis yang relevan.

   * Titik potong antara x + y = 2 dan 5x + 2y = 10:
     Dari x + y = 2, kita dapatkan y = 2 - x.
     Substitusikan ke persamaan kedua:
     5x + 2(2 - x) = 10
     5x + 4 - 2x = 10
     3x = 6
     x = 2
     Maka, y = 2 - 2 = 0.
     Titik potongnya adalah (2, 0).

Langkah 3: Tentukan daerah penyelesaian.
Daerah penyelesaian dibatasi oleh x >= 0, y >= 0 (kuadran I), x + y >= 2 (di atas garis x+y=2), dan 5x + 2y <= 10 (di bawah garis 5x+2y=10).

Titik-titik pojok yang perlu dipertimbangkan adalah:
   - Titik potong sumbu y dengan garis x + y = 2: (0, 2)
   - Titik potong sumbu x dengan garis 5x + 2y = 10 dan juga merupakan titik potong kedua garis: (2, 0)
   - Titik potong sumbu y dengan garis 5x + 2y = 10: (0, 5) - Namun, titik ini tidak memenuhi x + y >= 2, karena 0 + 5 = 5 >= 2. Jadi (0,5) adalah titik potong sumbu y dengan garis 5x+2y=10.
   - Titik potong sumbu x dengan garis x + y = 2: (2,0) - Titik ini memenuhi 5x+2y<=10 karena 5(2)+2(0)=10<=10.
   - Perlu dicari titik potong sumbu y dengan x+y=2 yaitu (0,2), yang memenuhi 5x+2y<=10 karena 5(0)+2(2)=4<=10.
   - Titik potong sumbu x dengan 5x+2y=10 yaitu (2,0), yang memenuhi x+y>=2 karena 2+0=2>=2.

Mari kita periksa kembali titik-titik pojok yang memenuhi semua pertidaksamaan:

   1. Titik potong garis x + y = 2 dengan sumbu y (x=0): (0, 2). Memenuhi 5x + 2y <= 10 (5*0 + 2*2 = 4 <= 10). Memenuhi x>=0, y>=0. Jadi (0, 2) adalah titik pojok.
   2. Titik potong garis 5x + 2y = 10 dengan sumbu x (y=0): (2, 0). Memenuhi x + y >= 2 (2 + 0 = 2 >= 2). Memenuhi x>=0, y>=0. Jadi (2, 0) adalah titik pojok.
   3. Titik potong garis x + y = 2 dan 5x + 2y = 10 adalah (2, 0). Ini sudah tercakup.
   4. Titik potong garis 5x+2y=10 dengan sumbu y (x=0) adalah (0,5). Titik ini TIDAK memenuhi x+y>=2 (0+5=5>=2). Oh, ya memenuhi. Mari cek kembali.

Daerah penyelesaian adalah area di kuadran I yang berada di atas garis x+y=2 DAN di bawah garis 5x+2y=10.

Mari kita identifikasi titik-titik pojoknya dengan benar:
   - Titik A: Perpotongan x+y=2 dengan sumbu-y (x=0). -> y=2. Titik (0,2). Cek pertidaksamaan lain: 5(0)+2(2) = 4 <= 10 (Memenuhi). x>=0, y>=0 (Memenuhi). Jadi (0,2) adalah titik pojok.
   - Titik B: Perpotongan 5x+2y=10 dengan sumbu-x (y=0). -> 5x=10 -> x=2. Titik (2,0). Cek pertidaksamaan lain: 2+0 = 2 >= 2 (Memenuhi). x>=0, y>=0 (Memenuhi). Jadi (2,0) adalah titik pojok.
   - Titik C: Perpotongan garis x+y=2 dan 5x+2y=10. Kita sudah hitung yaitu (2,0), yang sama dengan titik B.

Perlu diperhatikan bahwa daerah penyelesaian dibatasi oleh sumbu x, sumbu y, garis x+y=2 dan 5x+2y=10. Karena x+y>=2, daerahnya di atas garis x+y=2. Karena 5x+2y<=10, daerahnya di bawah garis 5x+2y=10. Karena x>=0 dan y>=0, daerahnya di kuadran I.

Jadi, titik-titik pojok yang valid adalah:
1. Titik potong x+y=2 dengan sumbu y (x=0): (0, 2). Cek 5x+2y<=10 -> 5(0)+2(2)=4<=10 (OK).
2. Titik potong 5x+2y=10 dengan sumbu x (y=0): (2, 0). Cek x+y>=2 -> 2+0=2>=2 (OK).

Nilai minimum fungsi objektif f(x, y) = 4x + 3y dicari pada titik-titik pojok ini.

Evaluasi fungsi objektif pada titik-titik pojok:
   - Pada titik (0, 2): f(0, 2) = 4(0) + 3(2) = 0 + 6 = 6
   - Pada titik (2, 0): f(2, 0) = 4(2) + 3(0) = 8 + 0 = 8

Nilai minimum dari fungsi objektif f(x, y) = 4x + 3y adalah 6, yang terjadi pada titik (0, 2).