Diketahui suatu limit fungsi aljabar diketakhinggaan

Terbukti bahwa jika a=k maka nilai fungsi tersebut adalah (b+l)/(2√k).

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa jika a=k maka nilai fungsi lim x-> tak hingga (akar(a x^2+b x+c)-akar(k x^2-l x+m)) = (b+l)/(2 akar(a)), kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

Diketahui:
lim x-> ∞ (√(ax^2 + bx + c) - √(kx^2 - lx + m))

Karena a = k, maka bentuknya menjadi:
lim x-> ∞ (√(ax^2 + bx + c) - √(ax^2 - lx + m))

Untuk menyelesaikan limit tak hingga dengan bentuk √ - √, kita kalikan dengan bentuk sekawannya:

= lim x-> ∞ [ (√(ax^2 + bx + c) - √(ax^2 - lx + m)) * ( (√(ax^2 + bx + c) + √(ax^2 - lx + m)) / (√(ax^2 + bx + c) + √(ax^2 - lx + m)) ) ]

= lim x-> ∞ [ (ax^2 + bx + c) - (ax^2 - lx + m) ] / [ √(ax^2 + bx + c) + √(ax^2 - lx + m) ]

= lim x-> ∞ [ ax^2 + bx + c - ax^2 + lx - m ] / [ √(ax^2 + bx + c) + √(ax^2 - lx + m) ]

= lim x-> ∞ [ (b+l)x + (c-m) ] / [ √(ax^2 + bx + c) + √(ax^2 - lx + m) ]

Selanjutnya, bagi pembilang dan penyebut dengan x (karena kita berurusan dengan limit tak hingga, kita membagi dengan x pada pembilang dan √x^2 = x pada penyebut):

= lim x-> ∞ [ (b+l) + (c-m)/x ] / [ √(a + b/x + c/x^2) + √(a - l/x + m/x^2) ]

Saat x mendekati tak hingga, suku-suku dengan x di penyebut akan menjadi nol (c/x, b/x, l/x, m/x^2):

= [ (b+l) + 0 ] / [ √(a + 0 + 0) + √(a - 0 + 0) ]

= (b+l) / (√a + √a)

= (b+l) / (2√a)

Karena a = k, maka hasil akhirnya adalah (b+l) / (2√k).

Jadi, terbukti bahwa jika a=k maka nilai fungsi tersebut dapat ditentukan dengan rumus (b+l)/(2√k).