Hitunglah: a. 1.000(sin 253.sin 313 + sin 163.sin 223) b.

Hasilnya adalah a. 500 dan b. 160.

Pembahasan

Untuk menghitung ekspresi yang diberikan:

a. $1.000(\sin 253° \sin 313° + \sin 163° \sin 223°)$
Kita dapat menggunakan identitas perkalian ke penjumlahan: $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$.

Untuk $\sin 253° \sin 313°$:
$A = 253°$, $B = 313°$
$\sin 253° \sin 313° = \frac{1}{2}[\cos(253° - 313°) - \cos(253° + 313°)]$
$= \frac{1}{2}[\cos(-60°) - \cos(566°)]$
Karena $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$ dan $\cos(\theta + 360°) = \cos(\theta)$, maka $\cos(-60°) = \cos(60°) = \frac{1}{2}$ dan $\cos(566°) = \cos(566° - 360°) = \cos(206°)$.
$= \frac{1}{2}[\frac{1}{2} - \cos(206°)]$

Untuk $\sin 163° \sin 223°$:
$A = 163°$, $B = 223°$
$\sin 163° \sin 223° = \frac{1}{2}[\cos(163° - 223°) - \cos(163° + 223°)]$
$= \frac{1}{2}[\cos(-60°) - \cos(386°)]$
$= \frac{1}{2}[\cos(60°) - \cos(386° - 360°)]$
$= \frac{1}{2}[\frac{1}{2} - \cos(26°)]$

Menjumlahkan keduanya:
$\frac{1}{2}[\frac{1}{2} - \cos(206°)] + \frac{1}{2}[\frac{1}{2} - \cos(26°)]$
$= \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\cos(206°) + \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\cos(26°)$
$= \frac{1}{2} - \frac{1}{2}[\cos(206°) + \cos(26°)]$

Menggunakan identitas $\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$:
$\cos(206°) + \cos(26°) = 2 \cos\left(\frac{206°+26°}{2}\right) \cos\left(\frac{206°-26°}{2}\right)$
$= 2 \cos(116°) \cos(90°)$
Karena $\cos(90°) = 0$, maka $\cos(206°) + \cos(26°) = 0$.

Jadi, hasil penjumlahannya adalah $\frac{1}{2}$.

Kalikan dengan 1.000:
$1.000 \times \frac{1}{2} = 500$.

b. $2.560 \sin 10° \sin 30° \sin 50° \sin 70°$
Kita tahu $\sin 30° = \frac{1}{2}$.
$2.560 \times \frac{1}{2} \times \sin 10° \sin 50° \sin 70°$
$= $1.280 \sin 10° \sin 50° \sin 70°$

Menggunakan identitas $\sin \theta \sin(60° - \theta) \sin(60° + \theta) = \frac{1}{4} \sin(3\theta)$.
Misalkan $\theta = 10°$. Maka $60° - \theta = 50°$ dan $60° + \theta = 70°$.
Jadi, $\sin 10° \sin 50° \sin 70° = \frac{1}{4} \sin(3 \times 10°) = \frac{1}{4} \sin 30° = \frac{1}{4} 	imes \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.

Kalikan dengan $1.280$:
$1.280 \times \frac{1}{8} = 160$.

Jadi, hasil perhitungannya adalah a. 500 dan b. 160.