Diketahui vektor u=-p^2 i+3j-k dan vektor v= pi+pj-5k

7

Pembahasan

Diberikan dua vektor: vektor u = -p²i + 3j - k dan vektor v = pi + pj - 5k. Diketahui bahwa -2 < p < 2. Kita diminta untuk mencari nilai maksimum dari hasil kali titik (dot product) vektor u dan vektor v, yaitu u ⋅ v.

Rumus hasil kali titik dua vektor adalah:
$$u \cdot v = (u_x)(v_x) + (u_y)(v_y) + (u_z)(v_z)$$
Dalam kasus ini:
$$u \cdot v = (-p^2)(p) + (3)(p) + (-1)(-5)$$ $$u \cdot v = -p^3 + 3p + 5$$
Untuk mencari nilai maksimum dari fungsi $f(p) = -p^3 + 3p + 5$ pada interval -2 < p < 2, kita perlu mencari turunan pertama fungsi tersebut terhadap p dan menentukan titik kritisnya:
$$f'(p) = \frac{d}{dp}(-p^3 + 3p + 5)$$ $$f'(p) = -3p^2 + 3$$
Atur turunan pertama sama dengan nol untuk mencari titik kritis:
$$-3p^2 + 3 = 0$$ $$3p^2 = 3$$ $$p^2 = 1$$ $$p = \pm 1$$
Kedua nilai kritis ini, p = 1 dan p = -1, berada dalam interval -2 < p < 2.

Sekarang, kita evaluasi nilai fungsi f(p) pada titik-titik kritis dan pada batas-batas interval (meskipun intervalnya terbuka, kita bisa melihat kecenderungannya):

Untuk p = 1:
$$f(1) = -(1)^3 + 3(1) + 5 = -1 + 3 + 5 = 7$$ 
Untuk p = -1:
$$f(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) + 5 = -(-1) - 3 + 5 = 1 - 3 + 5 = 3$$
Sekarang mari kita pertimbangkan perilaku fungsi saat mendekati batas interval:
Saat p mendekati 2 (dari kiri): $f(p) \approx -(2)^3 + 3(2) + 5 = -8 + 6 + 5 = 3$. Namun, karena p < 2, nilainya akan sedikit kurang dari 3.
Saat p mendekati -2 (dari kanan): $f(p) \approx -(-2)^3 + 3(-2) + 5 = -(-8) - 6 + 5 = 8 - 6 + 5 = 7$. Namun, karena p > -2, nilainya akan sedikit kurang dari 7.

Membandingkan nilai-nilai yang diperoleh (7, 3), nilai maksimum yang mungkin adalah 7, yang terjadi ketika p = 1. Namun, kita juga perlu memeriksa nilai pada batas. Karena intervalnya terbuka, nilai maksimum sebenarnya bisa jadi mendekati batas jika fungsi terus meningkat atau menurun.

Mari kita periksa turunan kedua untuk memastikan apakah titik kritis adalah maksimum atau minimum lokal:
$$f''(p) = \frac{d}{dp}(-3p^2 + 3) = -6p$$ 
Pada p = 1, $f''(1) = -6(1) = -6$. Karena turunan kedua negatif, p = 1 adalah maksimum lokal.
Pada p = -1, $f''(-1) = -6(-1) = 6$. Karena turunan kedua positif, p = -1 adalah minimum lokal.

Jadi, nilai maksimum lokal adalah 7 pada p = 1.

Karena intervalnya adalah -2 < p < 2, kita perlu mempertimbangkan nilai fungsi pada ujung-ujung interval tersebut.
Nilai fungsi di p=1 adalah 7.
Nilai fungsi di p=-1 adalah 3.

Saat p mendekati 2, $f(p) = -p^3 + 3p + 5$ mendekati $-2^3 + 3(2) + 5 = -8 + 6 + 5 = 3$.
Saat p mendekati -2, $f(p) = -p^3 + 3p + 5$ mendekati $-(-2)^3 + 3(-2) + 5 = 8 - 6 + 5 = 7$.

Karena kita mencari nilai maksimum dalam interval terbuka, dan nilai pada p=1 adalah 7, sementara nilai mendekati batas p=-2 juga mendekati 7, kita perlu hati-hati. Namun, karena p=-2 tidak termasuk dalam interval, nilai 7 yang dicapai pada p=1 adalah nilai maksimum yang mungkin dalam interval tersebut.