Ditentukan koordinat titik-titik P(-2,6,5), Q(2,6,9), dan

Koordinat A adalah (1,6,8), vektor AR adalah (4,-1,-1), dan panjang proyeksi AR pada PQ adalah 3√2 / 2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan membaginya menjadi tiga bagian:
a. Mencari koordinat titik A.
b. Mencari vektor yang diwakili vektor AR.
c. Mencari panjang proyeksi vektor AR pada vektor PQ.

a. Mencari koordinat titik A:
Karena A terletak pada PQ dan perbandingan PA:AQ = 3:1, maka A membagi PQ dalam perbandingan 3:1. Kita dapat menggunakan rumus pembagian vektor:
A = (mQ + nP) / (m + n)
Di sini, m = 3 dan n = 1.
P = (-2, 6, 5)
Q = (2, 6, 9)

A = (3 * (2, 6, 9) + 1 * (-2, 6, 5)) / (3 + 1)
A = ((6, 18, 27) + (-2, 6, 5)) / 4
A = (6 - 2, 18 + 6, 27 + 5) / 4
A = (4, 24, 32) / 4
A = (1, 6, 8)
Jadi, koordinat titik A adalah (1, 6, 8).

b. Mencari vektor yang diwakili vektor AR:
Vektor AR dapat dihitung dengan mengurangkan koordinat titik A dari koordinat titik R.
R = (5, 5, 7)
A = (1, 6, 8)

Vektor AR = R - A
Vektor AR = (5 - 1, 5 - 6, 7 - 8)
Vektor AR = (4, -1, -1)
Jadi, vektor yang diwakili vektor AR adalah (4, -1, -1).

c. Mencari panjang proyeksi vektor AR pada vektor PQ:
Pertama, kita perlu mencari vektor PQ:
P = (-2, 6, 5)
Q = (2, 6, 9)

Vektor PQ = Q - P
Vektor PQ = (2 - (-2), 6 - 6, 9 - 5)
Vektor PQ = (4, 0, 4)

Panjang proyeksi vektor AR pada vektor PQ diberikan oleh rumus:
Proy_PQ AR = (AR · PQ) / |PQ|

Hitung dot product AR · PQ:
AR · PQ = (4 * 4) + (-1 * 0) + (-1 * 4)
AR · PQ = 16 + 0 - 4
AR · PQ = 12

Hitung panjang vektor PQ (|PQ|):
|PQ| = sqrt(4^2 + 0^2 + 4^2)
|PQ| = sqrt(16 + 0 + 16)
|PQ| = sqrt(32)
|PQ| = 4 * sqrt(2)

Sekarang hitung panjang proyeksinya:
Proy_PQ AR = 12 / (4 * sqrt(2))
Proy_PQ AR = 3 / sqrt(2)
Untuk merasionalkan penyebut, kalikan dengan sqrt(2)/sqrt(2):
Proy_PQ AR = (3 * sqrt(2)) / (sqrt(2) * sqrt(2))
Proy_PQ AR = 3 * sqrt(2) / 2

Jadi, panjang proyeksi vektor AR pada vektor PQ adalah 3√2 / 2.