f(x)=a_(n) x^(n)+a_(n-1) x^(n-1)+...+a_(3) x^(3)+a_(2)

Turunan ke-n dari f(x) adalah a_n * P(n, n-1).

Pembahasan

Rumus fungsi yang diberikan adalah:
f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x^1 + a_0

Kita perlu mencari turunan ke-n dari f(x). Turunan dari x^k adalah k * x^{k-1}.

Turunan pertama f'(x) = n * a_n x^{n-1} + (n-1) * a_{n-1} x^{n-2} + ... + a_1

Turunan kedua f''(x) = n * (n-1) * a_n x^{n-2} + (n-1) * (n-2) * a_{n-1} x^{n-3} + ...

Setelah melakukan turunan sebanyak n kali, suku-suku yang memiliki pangkat x lebih rendah dari n akan menjadi nol. Suku yang tersisa adalah suku yang berasal dari a_n x^n.

Turunan ke-n dari a_n x^n adalah:
d^n/dx^n (a_n x^n) = a_n * d^n/dx^n (x^n)

Menggunakan aturan turunan berulang:
d/dx (x^n) = n x^{n-1}
d^2/dx^2 (x^n) = n(n-1) x^{n-2}
...
d^n/dx^n (x^n) = n(n-1)...(n-(n-1)) x^{n-n} = n(n-1)...(1) x^0 = n!

Jadi, turunan ke-n dari f(x) adalah a_n * n!.

Sekarang kita perlu mencocokkan ini dengan pilihan yang diberikan, yang menggunakan notasi Permutasi (P) dan Kombinasi (C).

Definisi Permutasi P(n, k) = n! / (n-k)!
Definisi Kombinasi C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!) = P(n, k) / k!

Kita perlu mencari ekspresi yang setara dengan n!.

A. a_n P(n, 1) = a_n * n! / (n-1)! = a_n * n
B. a_n C(n, 1) = a_n * n! / (1! * (n-1)!) = a_n * n
C. a_n P(n, n-1) = a_n * n! / (n-(n-1))! = a_n * n! / 1! = a_n * n!
   Ini cocok dengan hasil turunan kita.
D. a_n C(n, n-1) = a_n * n! / ((n-1)! * (n-(n-1))!) = a_n * n! / ((n-1)! * 1!) = a_n * n
E. a_n C(n, n) = a_n * n! / (n! * (n-n)!) = a_n * n! / (n! * 0!) = a_n * 1 = a_n

Jadi, turunan ke-n dari f(x) adalah a_n * P(n, n-1).