Fungsi f mempunyai invers f^(-1)(x)=1/5 (x-1) dan fungsi g

Nilai a adalah -19.

Pembahasan

Diketahui fungsi f memiliki invers $f^{-1}(x) = \frac{1}{5}(x-1)$ dan fungsi g memiliki invers $g^{-1}(x) = \frac{1}{2}(3-x)$. Kita diminta untuk menentukan nilai a pada persamaan $(g \circ f)^{-1}(a) = 2$.

Kita tahu bahwa $(g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1})(x)$.

Langkah pertama adalah mencari invers dari f dan g. Inversnya sudah diberikan:
$f^{-1}(x) = \frac{1}{5}(x-1)$
$g^{-1}(x) = \frac{1}{2}(3-x)$

Selanjutnya, kita cari $(g \circ f)^{-1}(x)$ dengan mengkomposisikan $f^{-1}$ dengan $g^{-1}$.
$(g \circ f)^{-1}(x) = f^{-1}(g^{-1}(x))$
Substitusikan $g^{-1}(x)$ ke dalam $f^{-1}(x)$:
$f^{-1}(g^{-1}(x)) = f^{-1}(\frac{1}{2}(3-x))$
$f^{-1}(\frac{1}{2}(3-x)) = \frac{1}{5} \left( \left( \frac{1}{2}(3-x) \right) - 1 \right)$
$f^{-1}(\frac{1}{2}(3-x)) = \frac{1}{5} \left( \frac{3-x}{2} - 1 \right)$
Untuk menyederhanakan bagian dalam kurung, samakan penyebutnya:
$f^{-1}(\frac{1}{2}(3-x)) = \frac{1}{5} \left( \frac{3-x}{2} - \frac{2}{2} \right)$
$f^{-1}(\frac{1}{2}(3-x)) = \frac{1}{5} \left( \frac{3-x-2}{2} \right)$
$f^{-1}(\frac{1}{2}(3-x)) = \frac{1}{5} \left( \frac{1-x}{2} \right)$
$f^{-1}(\frac{1}{2}(3-x)) = \frac{1-x}{10}$

Jadi, $(g \circ f)^{-1}(x) = \frac{1-x}{10}$.

Sekarang, kita gunakan persamaan yang diberikan: $(g 	ext{ o } f)^{-1}(a) = 2$.
Substitusikan 'a' ke dalam hasil invers yang kita dapatkan:
$\frac{1-a}{10} = 2$
Kalikan kedua sisi dengan 10:
$1-a = 2 \times 10$
$1-a = 20$
Pindahkan 'a' ke sisi kanan dan 20 ke sisi kiri:
$1 - 20 = a$
$a = -19$

Jadi, nilai a pada persamaan $(g 	ext{ o } f)^{-1}(a) = 2$ adalah -19.