Fungsi f(x) = akar(sin^2 2x - 2x + pi) dengan 0 < x < pi/2

$(0, \frac{\pi}{8})$ dan $(\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{2})$

Pembahasan

Untuk menentukan interval di mana fungsi $f(x) = \sqrt{\sin^2 2x - 2x + \pi}$ turun, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut ($f'(x)$) dan menentukan di mana $f'(x) < 0$.

Langkah 1: Tentukan domain fungsi.
Agar fungsi terdefinisi, ekspresi di bawah akar harus non-negatif: $\sin^2 2x - 2x + \pi \geq 0$.

Langkah 2: Cari turunan pertama $f'(x)$.
Kita gunakan aturan rantai. Misalkan $u = \sin^2 2x - 2x + \pi$. Maka $f(x) = \sqrt{u} = u^{1/2}$.
Turunan $f'(x) = \frac{1}{2} u^{-1/2} \cdot u'$.

Sekarang kita cari $u'$:
$u' = \frac{d}{dx}(\sin^2 2x - 2x + \pi)$
$u' = 2 \sin(2x) \cdot \cos(2x) \cdot 2 - 2$
$u' = 4 \sin(2x) \cos(2x) - 2$
Menggunakan identitas trigonometri $2 \sin A \cos A = \sin 2A$, maka $4 \sin(2x) \cos(2x) = 2 \sin(4x)$.
Jadi, $u' = 2 \sin(4x) - 2$.

Maka, $f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{\sin^2 2x - 2x + \pi}} \cdot (2 \sin(4x) - 2)$
$f'(x) = \frac{\sin(4x) - 1}{\sqrt{\sin^2 2x - 2x + \pi}}$.

Langkah 3: Tentukan interval di mana $f'(x) < 0$.
Agar $f'(x) < 0$, pembilang harus negatif karena penyebut (akar dari ekspresi non-negatif) selalu positif (atau nol, yang membuat $f'(x)$ tidak terdefinisi).
Jadi, kita perlu menyelesaikan $\sin(4x) - 1 < 0$, yang berarti $\sin(4x) < 1$.

Kita tahu bahwa nilai maksimum dari $\sin(\theta)$ adalah 1. $\sin(\theta) = 1$ ketika $\theta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, di mana $k$ adalah bilangan bulat.
Jadi, $\sin(4x) < 1$ berlaku untuk semua nilai $4x$ kecuali ketika $4x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$.
Ini berarti $x \neq \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$.

Sekarang kita pertimbangkan domain $0 < x < \frac{\pi}{2}$.
Dalam interval ini, $4x$ berada dalam interval $0 < 4x < 2\pi$.
Nilai di mana $\sin(4x) = 1$ dalam interval ini adalah ketika $4x = \frac{\pi}{2}$.
Maka, $x = \frac{\pi}{8}$.

Selain itu, kita perlu memastikan bahwa penyebutnya tidak nol, yaitu $\sin^2 2x - 2x + \pi \neq 0$. Mari kita analisis ekspresi ini. $\sin^2 2x$ selalu antara 0 dan 1. Nilai $-2x + \pi$ akan bervariasi. Untuk $0 < x < \frac{\pi}{2}$, $-2x$ berada antara $-\pi$ dan 0. Sehingga $-2x+\pi$ berada antara 0 dan $\pi$.
Jadi, $\sin^2 2x - 2x + \pi$ selalu positif dalam domain $0 < x < \frac{\pi}{2}$ karena $\sin^2 2x \ge 0$ dan $-2x + \pi > 0$ untuk $x < \frac{\pi}{2}$, dan bahkan untuk $x = \frac{\pi}{2}$, $-2x + \pi = 0$, tetapi $\sin^2(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = \sin^2(\pi) = 0$. Namun, kita memiliki batas terbuka $0 < x < \frac{\pi}{2}$.

Jadi, kondisi $f'(x) < 0$ terpenuhi ketika $\sin(4x) < 1$. Dalam interval $0 < x < \frac{\pi}{2}$, ini berarti $4x \neq \frac{\pi}{2}$, atau $x \neq \frac{\pi}{8}$.

Fungsi akan turun di mana $f'(x) < 0$. Karena $\sin(4x) - 1$ selalu $\leq 0$, dan kita hanya perlu memastikan penyebutnya positif (yang telah kita anggap benar untuk domain yang diberikan), maka $f'(x) \leq 0$ di mana pun terdefinisi.

Namun, fungsi turun jika $f'(x) < 0$. Ini terjadi ketika $\sin(4x) < 1$, yang berarti $4x \neq \frac{\pi}{2} + 2k\pi$. Dalam domain $0 < x < \frac{\pi}{2}$, ini berarti $x \neq \frac{\pi}{8}$.

Oleh karena itu, fungsi turun pada interval $(0, \frac{\pi}{8})$ dan $(\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{2})$.