Garis bilangan yang menggambarkan penyele- saian dari

Garis bilangan menunjukkan interval $(-\infty, -9) \cup [-3/2, 5) \cup (5, \infty)$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $\frac{2x^2-7x-15}{x^2+4x-45} \ge 0$, kita perlu mencari akar-akar dari pembilang dan penyebut terlebih dahulu.

Pembilang: $2x^2-7x-15 = 0$. Menggunakan rumus kuadrat atau faktorisasi, kita dapatkan $(2x+3)(x-5) = 0$, sehingga akarnya adalah $x = -3/2$ dan $x = 5$.

Penyebut: $x^2+4x-45 = 0$. Menggunakan faktorisasi, kita dapatkan $(x+9)(x-5) = 0$, sehingga akarnya adalah $x = -9$ dan $x = 5$.

Perlu diperhatikan bahwa penyebut tidak boleh nol, jadi $x \ne -9$ dan $x \ne 5$.

Selanjutnya, kita uji tanda pada interval yang dibentuk oleh akar-akar tersebut: $(-\infty, -9)$, $(-9, -3/2]$, $[-3/2, 5)$, dan $(5, \infty)$.

- Untuk interval $(-\infty, -9)$, ambil $x=-10$: $\frac{2(-10)^2-7(-10)-15}{(-10)^2+4(-10)-45} = \frac{200+70-15}{100-40-45} = \frac{255}{15} = 17 > 0$.
- Untuk interval $(-9, -3/2]$, ambil $x=-2$: $\frac{2(-2)^2-7(-2)-15}{(-2)^2+4(-2)-45} = \frac{8+14-15}{4-8-45} = \frac{7}{-51} < 0$.
- Untuk interval $[-3/2, 5)$, ambil $x=0$: $\frac{2(0)^2-7(0)-15}{(0)^2+4(0)-45} = \frac{-15}{-45} = \frac{1}{3} > 0$.
- Untuk interval $(5, \infty)$, ambil $x=6$: $\frac{2(6)^2-7(6)-15}{(6)^2+4(6)-45} = \frac{72-42-15}{36+24-45} = \frac{15}{15} = 1 > 0$.

Karena pertidaksamaan menggunakan $\ge 0$, maka solusi yang memenuhi adalah interval di mana nilainya positif atau nol. Namun, nilai $x=5$ tidak termasuk karena menyebabkan penyebut nol. Nilai $x=-3/2$ termasuk karena pembilangnya nol.

Garis bilangan yang menggambarkan penyelesaiannya adalah:

<----(---- [-3/2] ----)----(----> 
   -9           5