Garis singgung lingkaran x^2+y^2=10 di titik (3,1)

Nilai p adalah 2.5.

Pembahasan

Diketahui:
Lingkaran 1: x² + y² = 10 (berpusat di O(0,0) dengan jari-jari r1 = √10)
Titik singgung pada lingkaran 1: (3,1)
Lingkaran 2: (x-4)² + (y-3)² = p (berpusat di A(4,3) dengan jari-jari r2 = √p)

Karena garis singgung lingkaran 1 di titik (3,1) menyinggung lingkaran 2, maka kita perlu mencari persamaan garis singgung lingkaran 1 terlebih dahulu.

Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = r² di titik (x1, y1) adalah xx1 + yy1 = r².
Substitusikan titik (3,1) dan r²=10:
3x + 1y = 10
3x + y = 10

Sekarang, garis 3x + y = 10 ini menyinggung lingkaran (x-4)² + (y-3)² = p. Jarak dari pusat lingkaran kedua (A(4,3)) ke garis singgung ini sama dengan jari-jari lingkaran kedua (r2 = √p).

Rumus jarak dari titik (x₀, y₀) ke garis Ax + By + C = 0 adalah: d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

Dalam kasus ini:
Titik (x₀, y₀) = (4,3)
Garis: 3x + y - 10 = 0 (A=3, B=1, C=-10)
Jarak (d) = r2 = √p

Masukkan nilai-nilainya ke dalam rumus jarak:
√p = |(3)(4) + (1)(3) - 10| / √(3² + 1²)
√p = |12 + 3 - 10| / √(9 + 1)
√p = |5| / √10
√p = 5 / √10

Untuk mencari nilai p, kita kuadratkan kedua sisi:
p = (5 / √10)²
p = 25 / 10
p = 2.5

Jadi, nilai p adalah 2.5.