Garis x+y=c akan menyinggung lingkaran x^2+y^2=4 di titik A

Nilai $c$ adalah $2\sqrt{2}$.

Pembahasan

Untuk menemukan nilai $c$ agar garis $x+y=c$ menyinggung lingkaran $x^2+y^2=4$ di kuadran I, kita perlu menggunakan konsep jarak dari pusat lingkaran ke garis singgung.

**Informasi yang Diketahui:**
*   Persamaan lingkaran: $x^2 + y^2 = 4$. Ini adalah lingkaran dengan pusat di $(0,0)$ dan jari-jari $r = \sqrt{4} = 2$.
*   Persamaan garis singgung: $x + y = c$, atau $x + y - c = 0$.
*   Titik singgung berada di kuadran I (di mana $x > 0$ dan $y > 0$).

**Kondisi Menyinggung:**
Sebuah garis menyinggung lingkaran jika jarak dari pusat lingkaran ke garis tersebut sama dengan jari-jari lingkaran.

**Menghitung Jarak dari Pusat ke Garis:**
Jarak dari titik $(x_0, y_0)$ ke garis $Ax + By + C = 0$ diberikan oleh rumus:
$D = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Dalam kasus ini:
*   Pusat lingkaran $(x_0, y_0) = (0,0)$.
*   Garis singgung adalah $x + y - c = 0$, sehingga $A=1$, $B=1$, $C=-c$.
*   Jari-jari lingkaran $r = 2$.

Menggunakan rumus jarak:
$D = \frac{|(1)(0) + (1)(0) - c|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}$
$D = \frac{|-c|}{\sqrt{2}}$
$D = \frac{|c|}{\sqrt{2}}$

Karena garis menyinggung lingkaran, maka jarak $(D)$ harus sama dengan jari-jari $(r)$:
$D = r$
$\frac{|c|}{\sqrt{2}} = 2$
$|c| = 2\sqrt{2}$

Ini berarti $c = 2\sqrt{2}$ atau $c = -2\sqrt{2}$.

**Menentukan Nilai c Berdasarkan Kuadran:**
Kita diberitahu bahwa titik singgung berada di kuadran I. Mari kita substitusikan kedua kemungkinan nilai $c$ kembali ke persamaan garis dan cari titik potongnya dengan lingkaran $x^2+y^2=4$.

*   **Jika $c = 2\sqrt{2}$:**
Garisnya adalah $x + y = 2\sqrt{2}$, atau $y = 2\sqrt{2} - x$.
Substitusikan ke persamaan lingkaran:
$x^2 + (2\sqrt{2} - x)^2 = 4$
$x^2 + (8 - 4\sqrt{2}x + x^2) = 4$
$2x^2 - 4\sqrt{2}x + 8 = 4$
$2x^2 - 4\sqrt{2}x + 4 = 0$
Bagi dengan 2:
$x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = 0$
Ini adalah bentuk kuadrat sempurna: $(x - \sqrt{2})^2 = 0$
Jadi, $x = \sqrt{2}$.
Sekarang cari $y$: $y = 2\sqrt{2} - x = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$.
Titik singgungnya adalah $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$. Karena $\sqrt{2} > 0$, titik ini berada di kuadran I.

*   **Jika $c = -2\sqrt{2}$:**
Garisnya adalah $x + y = -2\sqrt{2}$, atau $y = -2\sqrt{2} - x$.
Substitusikan ke persamaan lingkaran:
$x^2 + (-2\sqrt{2} - x)^2 = 4$
$x^2 + (8 + 4\sqrt{2}x + x^2) = 4$
$2x^2 + 4\sqrt{2}x + 8 = 4$
$2x^2 + 4\sqrt{2}x + 4 = 0$
Bagi dengan 2:
$x^2 + 2\sqrt{2}x + 2 = 0$
Ini adalah bentuk kuadrat sempurna: $(x + \sqrt{2})^2 = 0$
Jadi, $x = -\sqrt{2}$.
Sekarang cari $y$: $y = -2\sqrt{2} - x = -2\sqrt{2} - (-\sqrt{2}) = -\sqrt{2}$.
Titik singgungnya adalah $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$. Titik ini berada di kuadran III.

Karena titik singgung harus berada di kuadran I, maka nilai $c$ yang memenuhi adalah $c = 2\sqrt{2}$.