Gunakan aturan kosinus untuk membuktikan identitas:(cos

Dengan mengganti cos A, cos B, dan cos C menggunakan aturan kosinus dan menyederhanakan, terbukti bahwa (cos A)/a + (cos B)/b + (cos C)/c = (a^2 + b^2 + c^2) / (2abc).

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas (cos A)/a + (cos B)/b + (cos C)/c = (a^2 + b^2 + c^2) / (2abc) menggunakan aturan kosinus, kita perlu mengingat aturan kosinus itu sendiri dan beberapa properti segitiga.

Aturan Kosinus:
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A  => cos A = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac cos B  => cos B = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C  => cos C = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)

Mari kita substitusikan ekspresi untuk cos A, cos B, dan cos C ke dalam sisi kiri identitas:

Sisi Kiri = (cos A)/a + (cos B)/b + (cos C)/c

= [ (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc) ] / a  +  [ (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac) ] / b  +  [ (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab) ] / c

= (b^2 + c^2 - a^2) / (2abc)  +  (a^2 + c^2 - b^2) / (2abc)  +  (a^2 + b^2 - c^2) / (2abc)

Karena penyebutnya sama (2abc), kita bisa menjumlahkan pembilangnya:

= (b^2 + c^2 - a^2 + a^2 + c^2 - b^2 + a^2 + b^2 - c^2) / (2abc)

Sekarang, mari kita sederhanakan pembilangnya dengan mengelompokkan suku-suku yang serupa:

= (a^2 + a^2 - a^2) + (b^2 - b^2 + b^2) + (c^2 + c^2 - c^2) / (2abc)

= (2a^2 - a^2) + (b^2) + (c^2) / (2abc)  ->  Ada kesalahan dalam perhitungan sebelumnya, mari kita ulangi penyederhanaan pembilangnya:

Pembilang = (b^2 + c^2 - a^2) + (a^2 + c^2 - b^2) + (a^2 + b^2 - c^2)
= b^2 + c^2 - a^2 + a^2 + c^2 - b^2 + a^2 + b^2 - c^2

Kelompokkan suku a^2:
-a^2 + a^2 + a^2 = a^2

Kelompokkan suku b^2:
b^2 - b^2 + b^2 = b^2

Kelompokkan suku c^2:
c^2 + c^2 - c^2 = c^2

Jadi, pembilangnya menjadi a^2 + b^2 + c^2.

Sisi Kiri = (a^2 + b^2 + c^2) / (2abc)

Karena Sisi Kiri = Sisi Kanan, identitas tersebut terbukti.