Hasil integral 0 1 (x+1) /(x^2+2 x+6)^2 dx=....

1/36

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral tentu $$\int_{0}^{1} \frac{x+1}{(x^2+2x+6)^2} dx$$, kita bisa menggunakan metode substitusi.

Misalkan $ u = x^2 + 2x + 6 $. 
Kemudian, kita cari turunannya terhadap x:
$ du = (2x + 2) dx $
$ du = 2(x+1) dx $

Dari sini, kita dapatkan $ (x+1) dx = \frac{1}{2} du $.

Selanjutnya, kita perlu mengubah batas integral dari x ke u.
Ketika $ x = 0 $: $ u = (0)^2 + 2(0) + 6 = 6 $.
Ketika $ x = 1 $: $ u = (1)^2 + 2(1) + 6 = 1 + 2 + 6 = 9 $.

Sekarang, kita substitusikan u dan batas integral ke dalam integral:
$$ \int_{6}^{9} \frac{1}{u^2} \left( \frac{1}{2} du \right) $$
$$ = \frac{1}{2} \int_{6}^{9} u^{-2} du $$

Sekarang kita integralkan $ u^{-2} $:
$$ \frac{1}{2} \left[ \frac{u^{-2+1}}{-2+1} \right]_{6}^{9} $$
$$ = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^{-1}}{-1} \right]_{6}^{9} $$
$$ = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{u} \right]_{6}^{9} $$

Terakhir, kita substitusikan batas atas dan batas bawah:
$$ = \frac{1}{2} \left( \left( -\frac{1}{9} \right) - \left( -\frac{1}{6} \right) \right) $$
$$ = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{9} + \frac{1}{6} \right) $$

Untuk menjumlahkan pecahan, kita cari KPK dari 9 dan 6, yaitu 18:
$$ = \frac{1}{2} \left( -\frac{2}{18} + \frac{3}{18} \right) $$
$$ = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{18} \right) $$
$$ = \frac{1}{36} $$

Jadi, hasil integral $$\int_{0}^{1} \frac{x+1}{(x^2+2x+6)^2} dx$$ adalah $$ \frac{1}{36} $$