Hasil jumlah semua ordinat titik ekstrim yang mungkin dari

3

Pembahasan

Untuk menemukan jumlah semua ordinat (nilai y) dari titik ekstrim yang mungkin dari daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear, kita perlu menentukan titik-titik sudut (vertex) dari daerah yang dibatasi oleh pertidaksamaan tersebut, lalu mengevaluasi nilai y pada titik-titik tersebut.

Pertidaksamaan yang diberikan adalah:
1. x ≥ 0
2. y ≥ 0
3. 2y - x ≤ 2
4. x - 2y ≤ 6
5. x + 2y ≤ 6

Daerah penyelesaian dibatasi oleh sumbu x (y=0) dan sumbu y (x=0), serta tiga garis lurus.

Mari kita cari titik potong dari garis-garis batas:

*   **Garis 1: 2y - x = 2**
    *   Jika x = 0, maka 2y = 2 => y = 1. Titik (0, 1).
    *   Jika y = 0, maka -x = 2 => x = -2. Titik (-2, 0).

*   **Garis 2: x - 2y = 6**
    *   Jika x = 0, maka -2y = 6 => y = -3. Titik (0, -3).
    *   Jika y = 0, maka x = 6. Titik (6, 0).

*   **Garis 3: x + 2y = 6**
    *   Jika x = 0, maka 2y = 6 => y = 3. Titik (0, 3).
    *   Jika y = 0, maka x = 6. Titik (6, 0).

Sekarang, kita perlu mencari titik potong antara garis-garis ini, dengan mempertimbangkan batasan x ≥ 0 dan y ≥ 0.

1.  **Titik potong Garis 1 (2y - x = 2) dan Garis 3 (x + 2y = 6):**
    Kita bisa menjumlahkan kedua persamaan:
    (2y - x) + (x + 2y) = 2 + 6
    4y = 8
    y = 2
    Substitusikan y = 2 ke salah satu persamaan, misal Garis 3:
    x + 2(2) = 6
    x + 4 = 6
    x = 2
    Titik potongnya adalah (2, 2).
    Periksa apakah titik ini memenuhi semua pertidaksamaan:
    x=2≥0 (Benar), y=2≥0 (Benar)
    2y-x ≤ 2 => 2(2)-2 = 4-2 = 2 ≤ 2 (Benar)
    x-2y ≤ 6 => 2-2(2) = 2-4 = -2 ≤ 6 (Benar)
    x+2y ≤ 6 => 2+2(2) = 2+4 = 6 ≤ 6 (Benar)
    Jadi, (2, 2) adalah titik sudut yang valid.

2.  **Titik potong Garis 2 (x - 2y = 6) dan Garis 3 (x + 2y = 6):**
    Jumlahkan kedua persamaan:
    (x - 2y) + (x + 2y) = 6 + 6
    2x = 12
    x = 6
    Substitusikan x = 6 ke Garis 3:
    6 + 2y = 6
    2y = 0
    y = 0
    Titik potongnya adalah (6, 0).
    Periksa:
    x=6≥0 (Benar), y=0≥0 (Benar)
    2y-x ≤ 2 => 2(0)-6 = -6 ≤ 2 (Benar)
    x-2y ≤ 6 => 6-2(0) = 6 ≤ 6 (Benar)
    x+2y ≤ 6 => 6+2(0) = 6 ≤ 6 (Benar)
    Jadi, (6, 0) adalah titik sudut yang valid.

3.  **Titik potong Garis 1 (2y - x = 2) dan Sumbu x (y = 0):**
    2(0) - x = 2 => -x = 2 => x = -2.
    Titik (-2, 0). Ini tidak memenuhi x ≥ 0, jadi bukan titik sudut daerah penyelesaian.

4.  **Titik potong Garis 1 (2y - x = 2) dan Sumbu y (x = 0):**
    2y - 0 = 2 => 2y = 2 => y = 1.
    Titik (0, 1).
    Periksa:
    x=0≥0 (Benar), y=1≥0 (Benar)
    2y-x ≤ 2 => 2(1)-0 = 2 ≤ 2 (Benar)
    x-2y ≤ 6 => 0-2(1) = -2 ≤ 6 (Benar)
    x+2y ≤ 6 => 0+2(1) = 2 ≤ 6 (Benar)
    Jadi, (0, 1) adalah titik sudut yang valid.

5.  **Titik potong Garis 3 (x + 2y = 6) dan Sumbu x (y = 0):**
    x + 2(0) = 6 => x = 6.
    Titik (6, 0). Sudah ditemukan di atas.

6.  **Titik potong Garis 3 (x + 2y = 6) dan Sumbu y (x = 0):**
    0 + 2y = 6 => 2y = 6 => y = 3.
    Titik (0, 3).
    Periksa:
    x=0≥0 (Benar), y=3≥0 (Benar)
    2y-x ≤ 2 => 2(3)-0 = 6 ≤ 2 (Salah)
    Jadi, (0, 3) bukan titik sudut daerah penyelesaian.

7.  **Titik potong Sumbu x (y=0) dan Sumbu y (x=0):**
    Titik (0, 0).
    Periksa:
    x=0≥0 (Benar), y=0≥0 (Benar)
    2y-x ≤ 2 => 2(0)-0 = 0 ≤ 2 (Benar)
    x-2y ≤ 6 => 0-2(0) = 0 ≤ 6 (Benar)
    x+2y ≤ 6 => 0+2(0) = 0 ≤ 6 (Benar)
    Jadi, (0, 0) adalah titik sudut yang valid.

Titik-titik sudut yang valid dari daerah penyelesaian adalah:
- (0, 0)
- (6, 0)
- (2, 2)
- (0, 1)

Sekarang, kita perlu menemukan ordinat (nilai y) dari titik-titik ekstrim ini:
- Ordinat dari (0, 0) adalah 0.
- Ordinat dari (6, 0) adalah 0.
- Ordinat dari (2, 2) adalah 2.
- Ordinat dari (0, 1) adalah 1.

Jumlah semua ordinat titik ekstrim yang mungkin adalah:
0 + 0 + 2 + 1 = 3.

Jadi, hasil jumlah semua ordinat titik ekstrim yang mungkin adalah 3.