Himpunan penyelesaian dari persamaan 2tan^2(x)+sec^2(x)=2

{$30^{\circ}$, $150^{\circ}$, $210^{\circ}$, $330^{\circ}$}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri $2\tan^2(x) + \sec^2(x) = 2$ pada interval $0 \le x \le 360^{\circ}$, kita perlu menggunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan persamaan.

Identitas yang relevan adalah: $\sec^2(x) = 1 + \tan^2(x)$.

Gantikan $\sec^2(x)$ dalam persamaan:
$2\tan^2(x) + (1 + \tan^2(x)) = 2$

Gabungkan suku-suku yang serupa:
$3\tan^2(x) + 1 = 2$

Kurangkan 1 dari kedua sisi:
$3\tan^2(x) = 1$

Bagi kedua sisi dengan 3:
$\tan^2(x) = \frac{1}{3}$

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi:
$\tan(x) = \pm\sqrt{\frac{1}{3}}$
$\tan(x) = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\tan(x) = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$

Sekarang kita perlu mencari nilai-nilai x dalam interval $0 \le x \le 360^{\circ}$ di mana $\tan(x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ atau $\tan(x) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Untuk $\tan(x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$:
Nilai dasar untuk x adalah $30^{\circ}$ (karena $\tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$).
Tangen positif berada di kuadran I dan III.
Di kuadran I: $x = 30^{\circ}$
Di kuadran III: $x = 180^{\circ} + 30^{\circ} = 210^{\circ}$

Untuk $\tan(x) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$:
Nilai dasar untuk x adalah $30^{\circ}$.
Tangen negatif berada di kuadran II dan IV.
Di kuadran II: $x = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$
Di kuadran IV: $x = 360^{\circ} - 30^{\circ} = 330^{\circ}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah nilai-nilai x di mana tangen bernilai $\frac{\sqrt{3}}{3}$ atau $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Himpunan penyelesaian = { $30^{\circ}$, $150^{\circ}$, $210^{\circ}$, $330^{\circ}$ }

Jawaban ringkas: Himpunan penyelesaiannya adalah { $30^{\circ}$, $150^{\circ}$, $210^{\circ}$, $330^{\circ}$ }.