Himpunan penyelesaian dari persamaan sin2x=1/2 akar(3)

Himpunan penyelesaian: {pi/12, 5pi/12}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan \(sin(2x) = \frac{1}{2}\\) dengan batasan \(-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}\), kita perlu mencari nilai \(2x\) terlebih dahulu.

Kita tahu bahwa \(sin \theta = \frac{1}{2}\\) ketika \(\theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) atau \(\theta = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), di mana \(k\) adalah bilangan bulat.

Jadi, untuk \(2x\), kita memiliki:
1. \(2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\)  => \(x = \frac{\pi}{12} + k\pi\)
2. \(2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\) => \(x = \frac{5\pi}{12} + k\pi\)

Sekarang kita terapkan batasan \(-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}\) untuk mencari nilai \(k\) yang memenuhi:

Untuk \(x = \frac{\pi}{12} + k\pi\):
Jika \(k = 0\), maka \(x = \frac{\pi}{12}\) (memenuhi)
Jika \(k = -1\), maka \(x = \frac{\pi}{12} - \pi = -\frac{11\pi}{12}\) (tidak memenuhi)
Jika \(k = 1\), maka \(x = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{13\pi}{12}\) (tidak memenuhi)

Untuk \(x = \frac{5\pi}{12} + k\pi\):
Jika \(k = 0\), maka \(x = \frac{5\pi}{12}\) (memenuhi)
Jika \(k = -1\), maka \(x = \frac{5\pi}{12} - \pi = -\frac{7\pi}{12}\) (tidak memenuhi)
Jika \(k = 1\), maka \(x = \frac{5\pi}{12} + \pi = \frac{17\pi}{12}\) (tidak memenuhi)

Himpunan penyelesaiannya adalah \({\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}}\).