Himpunan penyelesaian dari tan (5x-25)=-1/3 akar(3) untuk

Himpunan penyelesaiannya adalah {35°, 71°, 107°, 143°, 179°, 215°, 251°, 287°, 323°, 359°}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri tan(5x - 25°) = -1/√3, kita perlu mencari nilai sudut yang memiliki tangen -1/√3. Nilai tangen negatif berada di kuadran II dan IV.

Sudut referensi untuk tan(θ) = 1/√3 adalah 30° (atau π/6 radian).

Karena tangen negatif, solusi pertama berada di kuadran II: 
θ₁ = 180° - 30° = 150°

Solusi kedua berada di kuadran IV:
θ₂ = 360° - 30° = 330°

Namun, fungsi tangen memiliki periode 180° (atau π radian). Jadi, solusi umumnya adalah:
5x - 25° = 150° + n * 180°  atau  5x - 25° = 330° + n * 180°, di mana n adalah bilangan bulat.

Mari kita selesaikan untuk setiap kasus:

Kasus 1: 5x - 25° = 150° + n * 180°
5x = 175° + n * 180°
x = 35° + n * 36°

Sekarang kita cari nilai x dalam rentang 0° ≤ x ≤ 360°:
Untuk n=0: x = 35°
Untuk n=1: x = 35° + 36° = 71°
Untuk n=2: x = 35° + 72° = 107°
Untuk n=3: x = 35° + 108° = 143°
Untuk n=4: x = 35° + 144° = 179°
Untuk n=5: x = 35° + 180° = 215°
Untuk n=6: x = 35° + 216° = 251°
Untuk n=7: x = 35° + 252° = 287°
Untuk n=8: x = 35° + 288° = 323°
Untuk n=9: x = 35° + 324° = 359°
Untuk n=10: x = 35° + 360° = 395° (di luar rentang)

Kasus 2: 5x - 25° = 330° + n * 180°
5x = 355° + n * 180°
x = 71° + n * 36°

Sekarang kita cari nilai x dalam rentang 0° ≤ x ≤ 360°:
Untuk n=0: x = 71°
Untuk n=1: x = 71° + 36° = 107°
Untuk n=2: x = 71° + 72° = 143°
Untuk n=3: x = 71° + 108° = 179°
Untuk n=4: x = 71° + 144° = 215°
Untuk n=5: x = 71° + 180° = 251°
Untuk n=6: x = 71° + 216° = 287°
Untuk n=7: x = 71° + 252° = 323°
Untuk n=8: x = 71° + 288° = 359°
Untuk n=9: x = 71° + 324° = 395° (di luar rentang)

Perhatikan bahwa beberapa nilai berulang karena periode fungsi tangen. Solusi unik dalam rentang 0° ≤ x ≤ 360° adalah:
35°, 71°, 107°, 143°, 179°, 215°, 251°, 287°, 323°, 359°.

Jika kita menyederhanakan kedua set solusi:
Dari Kasus 1: x = 35°, 71°, 107°, 143°, 179°, 215°, 251°, 287°, 323°, 359°
Dari Kasus 2: x = 71°, 107°, 143°, 179°, 215°, 251°, 287°, 323°, 359°

Perhatikan bahwa solusi dari kasus 2 sudah tercakup dalam kasus 1 jika kita melihat perbedaan sudutnya. Sebenarnya kita hanya perlu satu bentuk umum.

Kembali ke: 5x - 25° = 150° + n * 180°
5x = 175° + n * 180°
x = 35° + n * 36°

Mari kita periksa kembali.
Nilai-nilai yang memenuhi tan(5x - 25°) = -1/√3 adalah:
Untuk n=0, x = 35°
Untuk n=1, x = 35° + 36° = 71°
Untuk n=2, x = 35° + 72° = 107°
Untuk n=3, x = 35° + 108° = 143°
Untuk n=4, x = 35° + 144° = 179°
Untuk n=5, x = 35° + 180° = 215°
Untuk n=6, x = 35° + 216° = 251°
Untuk n=7, x = 35° + 252° = 287°
Untuk n=8, x = 35° + 288° = 323°
Untuk n=9, x = 35° + 324° = 359°

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {35°, 71°, 107°, 143°, 179°, 215°, 251°, 287°, 323°, 359°}.