Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 12/(x+1)<x/6 adalah...

$x < -9$ atau $x > 8$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $\frac{12}{x+1} < \frac{x}{6}$, kita perlu memindahkan semua suku ke satu sisi untuk mendapatkan pertidaksamaan yang lebih besar dari nol:

$\frac{12}{x+1} - \frac{x}{6} < 0$

Selanjutnya, kita samakan penyebutnya:

$\frac{12 \times 6 - x(x+1)}{6(x+1)} < 0$

$\frac{72 - x^2 - x}{6(x+1)} < 0$

$\frac{-x^2 - x + 72}{6(x+1)} < 0$

Kita bisa mengalikan seluruh pertidaksamaan dengan -1 dan membalik tanda pertidaksamaan:

$\frac{x^2 + x - 72}{6(x+1)} > 0$

Sekarang, kita faktorkan pembilangnya:

$(x+9)(x-8)$

Jadi, pertidaksamaan menjadi:

$\frac{(x+9)(x-8)}{6(x+1)} > 0$

Kita perlu mencari nilai-nilai x yang membuat pembilang atau penyebut bernilai nol. Nilai-nilai kritisnya adalah x = -9, x = 8 (dari pembilang), dan x = -1 (dari penyebut).

Kita uji interval yang dibentuk oleh nilai-nilai kritis ini:

1. x < -9: Pilih x = -10. $\frac{(-10+9)(-10-8)}{6(-10+1)} = \frac{(-1)(-18)}{6(-9)} = \frac{18}{-54} < 0$ (Tidak memenuhi)
2. -9 < x < -1: Pilih x = -2. $\frac{(-2+9)(-2-8)}{6(-2+1)} = \frac{(7)(-10)}{6(-1)} = \frac{-70}{-6} > 0$ (Memenuhi)
3. -1 < x < 8: Pilih x = 0. $\frac{(0+9)(0-8)}{6(0+1)} = \frac{(9)(-8)}{6(1)} = \frac{-72}{6} < 0$ (Tidak memenuhi)
4. x > 8: Pilih x = 9. $\frac{(9+9)(9-8)}{6(9+1)} = \frac{(18)(1)}{6(10)} = \frac{18}{60} > 0$ (Memenuhi)

Himpunan penyelesaiannya adalah $x < -9$ atau $x > 8$.