Himpunan penyelesiaan pertidaksamaan (|x|+2)/x<=3 adalah

{x | x < 0 atau x >= 1}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan (|x|+2)/x <= 3, kita perlu mempertimbangkan dua kasus:

Kasus 1: x > 0
Dalam kasus ini, |x| = x. Pertidaksamaan menjadi:
(x + 2) / x <= 3
Karena x > 0, kita bisa mengalikan kedua sisi dengan x tanpa mengubah arah pertidaksamaan:
x + 2 <= 3x
2 <= 2x
1 <= x
Jadi, untuk kasus ini, penyelesaiannya adalah x >= 1.

Kasus 2: x < 0
Dalam kasus ini, |x| = -x. Pertidaksamaan menjadi:
(-x + 2) / x <= 3
Karena x < 0, saat mengalikan kedua sisi dengan x, arah pertidaksamaan berubah:
-x + 2 >= 3x
2 >= 4x
1/2 >= x
Atau x <= 1/2.
Namun, kita juga memiliki syarat bahwa x < 0. Jadi, irisan dari x < 0 dan x <= 1/2 adalah x < 0.

Menggabungkan kedua kasus:
Dari Kasus 1, kita mendapatkan x >= 1.
Dari Kasus 2, kita mendapatkan x < 0.

Himpunan penyelesaiannya adalah gabungan dari kedua kasus ini, yaitu {x | x < 0 atau x >= 1}.

Mari kita periksa kembali langkah-langkahnya untuk memastikan tidak ada kesalahan.

Alternatif penyelesaian:
Pindahkan semua suku ke satu sisi:
(|x|+2)/x - 3 <= 0
(|x|+2 - 3x)/x <= 0

Jika x > 0:
(x + 2 - 3x)/x <= 0
(2 - 2x)/x <= 0
Karena x > 0, maka x positif. Agar pecahan ini kurang dari atau sama dengan nol, pembilangnya harus kurang dari atau sama dengan nol:
2 - 2x <= 0
2 <= 2x
1 <= x
Jadi, untuk x > 0, solusinya adalah x >= 1.

Jika x < 0:
(-x + 2 - 3x)/x <= 0
(2 - 4x)/x <= 0
Karena x < 0, maka x negatif. Agar pecahan ini kurang dari atau sama dengan nol, pembilangnya harus lebih besar dari atau sama dengan nol (agar hasil bagi negatif):
2 - 4x >= 0
2 >= 4x
1/2 >= x
Karena kita juga memiliki syarat x < 0, maka irisan dari x < 0 dan x <= 1/2 adalah x < 0.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | x < 0} U {x | x >= 1}.