Hitung nilai x yang memenuhi persamaan

$x = \pm \log_2(2 + \sqrt{3})$ dan $x = \pm \log_2(4 + \sqrt{15})$

Pembahasan

Kita diberikan persamaan eksponensial: $4^x + 4^{-x} - 3(2^{x+2} + 2^{2-x}) + 34 = 0$. 

Pertama, mari kita sederhanakan suku-suku dalam persamaan:
$4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$
$4^{-x} = (2^2)^{-x} = 2^{-2x}$
$2^{x+2} = 2^x 	imes 2^2 = 4 	imes 2^x$
$2^{2-x} = 2^2 	imes 2^{-x} = 4 	imes 2^{-x}$

Substitusikan kembali ke dalam persamaan:
$2^{2x} + 2^{-2x} - 3(4 	imes 2^x + 4 	imes 2^{-x}) + 34 = 0$
$2^{2x} + 2^{-2x} - 12(2^x + 2^{-x}) + 34 = 0$

Sekarang, mari kita gunakan substitusi. Misalkan $y = 2^x + 2^{-x}$.
Perhatikan bahwa $y^2 = (2^x + 2^{-x})^2 = (2^x)^2 + 2(2^x)(2^{-x}) + (2^{-x})^2 = 2^{2x} + 2(2^0) + 2^{-2x} = 2^{2x} + 2 + 2^{-2x}$.
Jadi, $2^{2x} + 2^{-2x} = y^2 - 2$.

Substitusikan $y$ ke dalam persamaan:
$(y^2 - 2) - 12y + 34 = 0$
$y^2 - 12y + 32 = 0$

Ini adalah persamaan kuadrat dalam $y$. Kita bisa memfaktorkannya:
$(y - 4)(y - 8) = 0$

Maka, $y = 4$ atau $y = 8$.

Sekarang kita kembali ke substitusi awal, $y = 2^x + 2^{-x}$.

Kasus 1: $y = 4$
$2^x + 2^{-x} = 4$
Kalikan kedua sisi dengan $2^x$ (asumsikan $2^x 
eq 0$, yang selalu benar):
$(2^x)^2 + 1 = 4 	imes 2^x$
$2^{2x} - 4 	imes 2^x + 1 = 0$
Misalkan $z = 2^x$. Maka persamaan menjadi:
$z^2 - 4z + 1 = 0$
Kita bisa menggunakan rumus kuadrat untuk mencari $z$: $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$z = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.
Karena $z = 2^x$, maka $2^x = 2 + \sqrt{3}$ atau $2^x = 2 - \sqrt{3}$.
Mengambil logaritma basis 2:
$x = \log_2(2 + \sqrt{3})$ atau $x = \log_2(2 - \sqrt{3})$.
Perhatikan bahwa $2 - \sqrt{3} = \frac{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}{2 + \sqrt{3}} = \frac{4 - 3}{2 + \sqrt{3}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = (2 + \sqrt{3})^{-1}$.
Jadi, $\log_2(2 - \sqrt{3}) = \log_2((2 + \sqrt{3})^{-1}) = -\log_2(2 + \sqrt{3})$.
Dengan demikian, solusinya adalah $x = \pm \log_2(2 + \sqrt{3})$.

Kasus 2: $y = 8$
$2^x + 2^{-x} = 8$
Kalikan kedua sisi dengan $2^x$:
$(2^x)^2 + 1 = 8 	imes 2^x$
$2^{2x} - 8 	imes 2^x + 1 = 0$
Misalkan $z = 2^x$. Maka persamaan menjadi:
$z^2 - 8z + 1 = 0$
Menggunakan rumus kuadrat:
$z = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{15}}{2} = 4 \pm \sqrt{15}$.
Karena $z = 2^x$, maka $2^x = 4 + \sqrt{15}$ atau $2^x = 4 - \sqrt{15}$.
Mengambil logaritma basis 2:
$x = \log_2(4 + \sqrt{15})$ atau $x = \log_2(4 - \sqrt{15})$.
Perhatikan bahwa $4 - \sqrt{15} = \frac{(4 - \sqrt{15})(4 + \sqrt{15})}{4 + \sqrt{15}} = \frac{16 - 15}{4 + \sqrt{15}} = \frac{1}{4 + \sqrt{15}} = (4 + \sqrt{15})^{-1}$.
Jadi, $\log_2(4 - \sqrt{15}) = \log_2((4 + \sqrt{15})^{-1}) = -\log_2(4 + \sqrt{15})$.
Dengan demikian, solusinya adalah $x = \pm \log_2(4 + \sqrt{15})$.

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan adalah $x = \pm \log_2(2 + \sqrt{3})$ dan $x = \pm \log_2(4 + \sqrt{15})$