Hitunglah besar kemiringan garis tangen dari kurva berikut.

Kemiringan = -26 * sqrt(3) / 49

Pembahasan

Soal #4 meminta untuk menghitung besar kemiringan garis tangen dari kurva g(x) = (16 + sin x) / (3 + sin x) di x = pi/6.

Besar kemiringan garis tangen sama dengan nilai turunan pertama dari fungsi g(x) pada titik x yang diberikan.
Kita akan menggunakan aturan pembagian (u/v)' = (u'v - uv') / v^2, di mana:
u = 16 + sin x  => u' = cos x
v = 3 + sin x   => v' = cos x

Gunakan rumus turunan:
g'(x) = [(cos x)(3 + sin x) - (16 + sin x)(cos x)] / (3 + sin x)^2

Sederhanakan pembilangnya:
g'(x) = [3cos x + sin x cos x - 16cos x - sin x cos x] / (3 + sin x)^2
g'(x) = [3cos x - 16cos x] / (3 + sin x)^2
g'(x) = -13cos x / (3 + sin x)^2

Sekarang, substitusikan x = pi/6 ke dalam g'(x).
Kita tahu bahwa cos(pi/6) = sqrt(3)/2 dan sin(pi/6) = 1/2.

g'(pi/6) = -13 * (sqrt(3)/2) / (3 + 1/2)^2
g'(pi/6) = (-13 * sqrt(3)/2) / (7/2)^2
g'(pi/6) = (-13 * sqrt(3)/2) / (49/4)

Untuk membagi pecahan, kita kalikan dengan kebalikannya:
g'(pi/6) = (-13 * sqrt(3)/2) * (4/49)
g'(pi/6) = (-13 * sqrt(3) * 4) / (2 * 49)
g'(pi/6) = (-13 * sqrt(3) * 2) / 49
g'(pi/6) = -26 * sqrt(3) / 49

Jadi, besar kemiringan garis tangen dari kurva g(x) di x = pi/6 adalah -26 * sqrt(3) / 49.