Hitunglah lim _(x -> 1) ((x^(2)-6 x+9) ctg

Dengan substitusi langsung x=1, hasilnya adalah (4 * ctg(-2/3)) / (sin^5(-2)). Jika batas limit seharusnya x->3, hasilnya adalah ∞.

Pembahasan

Untuk menghitung limit:  lim  _(x -> 1) ((x^(2)-6 x+9) ctg (1)/(3)(x-3))/(sin ^(5)(x-3))

Kita substitusikan x = 1 ke dalam persamaan:
Pembilang: (1^2 - 6*1 + 9) ctg(1/3 * (1-3)) = (1 - 6 + 9) ctg(1/3 * (-2)) = 4 * ctg(-2/3).

Penyebut: sin^5(1-3) = sin^5(-2).

Limitnya menjadi: (4 * ctg(-2/3)) / (sin^5(-2)).

Ini bukan bentuk tak tentu seperti 0/0 atau ∞/∞, sehingga nilai limitnya adalah substitusi langsung, namun nilai ctg(-2/3) dan sin(-2) tidak dapat disederhanakan lebih lanjut tanpa kalkulator dan tidak mengarah pada penyederhanaan yang umum dalam soal limit.

Perlu diperiksa kembali soalnya, kemungkinan ada kesalahan pengetikan, misalnya batas limit seharusnya menuju nilai yang membuat ekspresi menjadi tak tentu (seperti x -> 3), atau ada hubungan antara argumen ctg dan sin.

Jika batas limit adalah x -> 3:
lim  _(x -> 3) ((x^(2)-6 x+9) ctg (1)/(3)(x-3))/(sin ^(5)(x-3))
= lim  _(x -> 3) ((x-3)^2 ctg (1)/(3)(x-3))/(sin ^(5)(x-3))

Kita tahu bahwa ctg(u) = cos(u)/sin(u) dan jika u -> 0, sin(u) ≈ u.
Misalkan u = (1/3)(x-3). Ketika x -> 3, maka u -> 0.
Jadi, ctg(1/3 * (x-3)) ≈ 1 / ((1/3)(x-3)) = 3 / (x-3).

Substitusikan kembali ke dalam limit:
= lim  _(x -> 3) ((x-3)^2 * [3 / (x-3)]) / (sin ^(5)(x-3))
= lim  _(x -> 3) (3 * (x-3)) / (sin ^(5)(x-3))

Sekarang, kita gunakan fakta bahwa jika v -> 0, sin(v) ≈ v.
Karena x -> 3, maka (x-3) -> 0. Jadi, sin(x-3) ≈ (x-3).

Limit menjadi:
= lim  _(x -> 3) (3 * (x-3)) / ((x-3) ^(5))
= lim  _(x -> 3) 3 / (x-3) ^(4)

Ketika x mendekati 3, (x-3)^4 mendekati 0 dari sisi positif. Sehingga, 3 dibagi dengan bilangan yang sangat kecil positif akan mendekati tak hingga.
Jadi, jika batasnya x -> 3, limitnya adalah ∞.

Karena soal asli menyatakan x -> 1, dan substitusi langsung tidak menghasilkan bentuk tak tentu yang umum, jawaban yang paling tepat berdasarkan soal yang tertulis adalah nilai substitusi langsung.
Namun, jika ini adalah soal ujian, sangat disarankan untuk mengklarifikasi batas limitnya.