Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola x=2-y-y^2

Luas daerah yang dibatasi adalah $\frac{4}{3}$ satuan luas.

Pembahasan

Untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola $x = 2 - y - y^2$ dan garis $x + y = 1$, kita perlu mencari titik potong kedua kurva tersebut terlebih dahulu. 

Dari persamaan garis, kita dapat mengekspresikan $x$ dalam bentuk $y$: $x = 1 - y$.

Sekarang, kita samakan kedua persamaan $x$ untuk mencari titik potongnya:
$1 - y = 2 - y - y^2$
$1 = 2 - y^2$
$y^2 = 2 - 1$
$y^2 = 1$
$y = \pm 1$

Untuk $y = 1$, substitusikan ke persamaan garis $x = 1 - y$: $x = 1 - 1 = 0$. Jadi, titik potong pertama adalah $(0, 1)$.
Untuk $y = -1$, substitusikan ke persamaan garis $x = 1 - y$: $x = 1 - (-1) = 2$. Jadi, titik potong kedua adalah $(2, -1)$.

Sekarang kita perlu menentukan kurva mana yang berada di atas kurva lainnya dalam interval $y$ dari -1 sampai 1. Kita bisa menguji sebuah nilai $y$ di antara -1 dan 1, misalnya $y = 0$.
Untuk $y = 0$, $x$ dari garis adalah $x = 1 - 0 = 1$.
Untuk $y = 0$, $x$ dari parabola adalah $x = 2 - 0 - 0^2 = 2$.
Karena $2 > 1$, maka parabola $x = 2 - y - y^2$ berada di sebelah kanan garis $x = 1 - y$ (dalam hal ini, nilai $x$ parabola lebih besar) pada interval $y \in [-1, 1]$.

Luas daerah dapat dihitung dengan integral:
$Luas = \int_{y_1}^{y_2} (x_{kanan} - x_{kiri}) dy$
$Luas = \int_{-1}^{1} ((2 - y - y^2) - (1 - y)) dy$
$Luas = \int_{-1}^{1} (2 - y - y^2 - 1 + y) dy$
$Luas = \int_{-1}^{1} (1 - y^2) dy$

Sekarang kita hitung integralnya:
$Luas = [y - \frac{y^3}{3}]_{-1}^{1}$
$Luas = (1 - \frac{1^3}{3}) - (-1 - \frac{(-1)^3}{3})$
$Luas = (1 - \frac{1}{3}) - (-1 - \frac{-1}{3})$
$Luas = (1 - \frac{1}{3}) - (-1 + \frac{1}{3})$
$Luas = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3})$
$Luas = \frac{2}{3} + \frac{2}{3}$
$Luas = \frac{4}{3}$

Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh parabola $x=2-y-y^2$ dan garis $x+y=1$ adalah $\frac{4}{3}$ satuan luas.