Hitunglah masing-masing limit berikut. a. limit x -> 0

a. Limitnya adalah -2. b. Limitnya adalah -4.

Pembahasan

Untuk menghitung limit ini, kita dapat menggunakan beberapa metode, termasuk substitusi langsung, aturan L'Hopital, atau ekspansi deret Taylor.

a. **limit x -> 0 (cos(2x)-1)/(x^2)**
   Jika kita substitusi x=0, kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.
   Kita dapat menggunakan aturan L'Hopital (turunkan pembilang dan penyebut):
   Turunan dari cos(2x)-1 adalah -2sin(2x).
   Turunan dari x^2 adalah 2x.
   Limit menjadi: limit x -> 0 (-2sin(2x))/(2x) = limit x -> 0 (-sin(2x))/x

   Jika kita substitusi x=0 lagi, kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.
   Gunakan aturan L'Hopital lagi:
   Turunan dari -sin(2x) adalah -2cos(2x).
   Turunan dari x adalah 1.
   Limit menjadi: limit x -> 0 (-2cos(2x))/1

   Substitusi x=0: -2cos(0) = -2(1) = -2.

   Jadi, limit x -> 0 (cos(2x)-1)/(x^2) = -2.

b. **limit x -> 0 (sin(2x)-tan(2x))/(x^3)**
   Jika kita substitusi x=0, kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.
   Kita bisa mengubah tan(2x) menjadi sin(2x)/cos(2x):
   limit x -> 0 (sin(2x) - sin(2x)/cos(2x))/(x^3)
   limit x -> 0 [sin(2x)(1 - 1/cos(2x))]/(x^3)
   limit x -> 0 [sin(2x)(cos(2x) - 1)/cos(2x)]/(x^3)

   Kita tahu bahwa limit x -> 0 sin(x)/x = 1 dan limit x -> 0 (1-cos(x))/x^2 = 1/2.
   Kita bisa memanipulasi ekspresi tersebut:
   limit x -> 0 [sin(2x)/x * (cos(2x)-1)/x^2 * 1/cos(2x)]

   Kita tahu:
   limit x -> 0 sin(2x)/x = limit x -> 0 2 * sin(2x)/(2x) = 2 * 1 = 2.
   limit x -> 0 (cos(2x)-1)/x^2 = -2 (dari bagian a).
   limit x -> 0 1/cos(2x) = 1/cos(0) = 1/1 = 1.

   Menggabungkan hasil ini:
   2 * (-2) * 1 = -4.

Jadi, limit x -> 0 (sin(2x)-tan(2x))/(x^3) = -4.