Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut:lim x->a

1/10

Pembahasan

Untuk menghitung limit ini, kita akan menggunakan substitusi dan identitas trigonometri.

Misalkan u = x - a. Ketika x → a, maka u → 0.
Substitusikan u ke dalam ekspresi limit:
lim u->0 (1 - √(1 - sin²(u))) / (u tan(5u))

Kita tahu identitas trigonometri: sin²(θ) + cos²(θ) = 1, sehingga cos²(θ) = 1 - sin²(θ).
Dengan demikian, √(1 - sin²(u)) = √(cos²(u)) = |cos(u)|.
Karena kita mendekati u = 0, cos(u) akan positif (mendekati cos(0) = 1). Jadi, |cos(u)| = cos(u).

Ekspresi limit menjadi:
lim u->0 (1 - cos(u)) / (u tan(5u))

Sekarang, kita gunakan beberapa limit standar:
1.  lim u->0 (1 - cos(u)) / u = 0
2.  lim u->0 sin(u) / u = 1
3.  lim u->0 tan(u) / u = 1

Kita dapat menulis ulang ekspresi tersebut:
lim u->0 [ (1 - cos(u)) / u ] * [ 1 / tan(5u) ]
lim u->0 [ (1 - cos(u)) / u ] * [ u / tan(5u) ]

Kita perlu menyesuaikan bagian tan(5u) agar sesuai dengan limit standar.
lim u->0 [ (1 - cos(u)) / u ] * [ 1 / ( (tan(5u)) / (5u) * 5u ) ]

Pisahkan menjadi beberapa bagian:
lim u->0 (1 - cos(u)) / u  *  lim u->0 (5u) / tan(5u) * lim u->0 (1/5)

Kita tahu:
*   lim u->0 (1 - cos(u)) / u = 0
*   lim u->0 (5u) / tan(5u) = 1 / lim u->0 tan(5u) / (5u) = 1/1 = 1

Jadi, limitnya adalah:
0 * 1 * (1/5) = 0.

Namun, ada kesalahan dalam penggunaan limit (1 - cos(u)) / u. Limit ini adalah 0.
Mari kita gunakan identitas lain untuk 1 - cos(u).
1 - cos(u) = 2 sin²(u/2).

Ekspresi limit menjadi:
lim u->0 (2 sin²(u/2)) / (u tan(5u))

Kita bisa menulis tan(5u) = sin(5u) / cos(5u).
lim u->0 (2 sin²(u/2)) / (u * (sin(5u) / cos(5u)))
lim u->0 (2 sin²(u/2) * cos(5u)) / (u sin(5u))

Kita perlu membuat bentuknya seperti sin(θ)/θ.
Kita punya sin²(u/2), jadi kita perlu (u/2)² di penyebut.
Kita punya sin(5u), jadi kita perlu 5u di penyebut.

Mari kita susun ulang:
lim u->0 2 * [ sin(u/2) / (u/2) ]² * (u/2)² * cos(5u) / (u * sin(5u))

Ini menjadi rumit. Mari kita kembali ke bentuk yang lebih sederhana:
lim u->0 (1 - cos(u)) / (u tan(5u))

Kalikan pembilang dan penyebut dengan (1 + cos(u)) untuk menghilangkan bentuk 1 - cos(u) di pembilang:
lim u->0 [ (1 - cos(u)) * (1 + cos(u)) ] / [ u tan(5u) * (1 + cos(u)) ]
lim u->0 [ 1 - cos²(u) ] / [ u tan(5u) * (1 + cos(u)) ]
lim u->0 [ sin²(u) ] / [ u tan(5u) * (1 + cos(u)) ]

Sekarang, kita pisahkan menjadi bagian-bagian limit standar:
lim u->0 [ sin²(u) / u² ] * [ u² / (u tan(5u)) ] * [ 1 / (1 + cos(u)) ]

Kita tahu:
*   lim u->0 sin²(u) / u² = (lim u->0 sin(u)/u)² = 1² = 1.
*   lim u->0 u² / (u tan(5u)) = lim u->0 u / tan(5u).
    Untuk membuat ini sesuai dengan tan(θ)/θ, kita bagi pembilang dan penyebut dengan 5u:
    lim u->0 (u / 5u) / (tan(5u) / 5u) = lim u->0 (1/5) / (tan(5u) / 5u).
    Karena lim u->0 tan(5u) / 5u = 1, maka limit ini menjadi (1/5) / 1 = 1/5.
*   lim u->0 1 / (1 + cos(u)) = 1 / (1 + cos(0)) = 1 / (1 + 1) = 1/2.

Jadi, hasil limitnya adalah:
1 * (1/5) * (1/2) = 1/10.

Mari kita cek kembali langkah-langkahnya.

Limit: lim x->a (1-√(1-sin²(x-a)))/((x-a) tan 5(x-a))
Substitusi u = x - a:
lim u->0 (1-√(cos²(u)))/(u tan(5u))
lim u->0 (1-|cos(u)|)/(u tan(5u))
Karena u mendekati 0, cos(u) > 0, jadi |cos(u)| = cos(u).
lim u->0 (1-cos(u))/(u tan(5u))

Gunakan 1 - cos(u) = 2 sin²(u/2).
lim u->0 (2 sin²(u/2)) / (u tan(5u))

Pisahkan tan(5u) = sin(5u) / cos(5u).
lim u->0 (2 sin²(u/2)) / (u * (sin(5u) / cos(5u)))
lim u->0 (2 sin²(u/2) * cos(5u)) / (u sin(5u))

Sekarang kita manipulasi agar muncul bentuk sin(θ)/θ:
lim u->0 2 * [sin(u/2) / (u/2)]² * (u/2)² * cos(5u) / (u * [sin(5u) / (5u)] * 5u)

Sederhanakan:
lim u->0 2 * [sin(u/2) / (u/2)]² * (u²/4) * cos(5u) / (u * [sin(5u) / (5u)] * 5u)

Kelompokkan:
(2 * (1)²) * (1/4) * (lim u->0 cos(5u)) * (lim u->0 u² / (u * 5u * [sin(5u) / (5u)]))

(2) * (1/4) * (1) * (lim u->0 u² / (5u² * [sin(5u) / (5u)]))

(1/2) * (lim u->0 1 / (5 * [sin(5u) / (5u)]))

(1/2) * (1 / (5 * 1))

(1/2) * (1/5) = 1/10.

Perhitungan ini sudah benar.

Cara lain menggunakan ekspansi Taylor untuk 1-cos(u) di sekitar u=0:
1 - cos(u) ≈ 1 - (1 - u²/2!) = u²/2.

Jadi, limitnya menjadi:
lim u->0 (u²/2) / (u tan(5u))

Kita tahu tan(5u) ≈ 5u untuk u mendekati 0.

lim u->0 (u²/2) / (u * 5u)
lim u->0 (u²/2) / (5u²)

Cancel u²:
lim u->0 (1/2) / 5

1/10.

Metode ekspansi Taylor mengkonfirmasi hasil 1/10.