Hitunglah nilai limit berikut lim _(x -> 0)

Nilai limitnya adalah 0, dengan asumsi penyebutnya adalah 4^(2x) - 1 - 1/4.

Pembahasan

Untuk menghitung nilai limit tersebut, kita perlu menyederhanakan ekspresi terlebih dahulu dan kemudian mensubstitusikan nilai x.

Ekspresi yang diberikan adalah:
lim (x -> 0) (2^x + 1 - 2) / (4^(2x) - 1 - (1/4))

Mari kita sederhanakan pembilang dan penyebutnya:

Pembilang: 2^x + 1 - 2 = 2^x - 1

Penyebut: 4^(2x) - 1 - (1/4)
Perhatikan bahwa 4^(2x) = (4^2)^x = 16^x. Namun, jika maksud soal adalah (4^x)^2 atau (2^(2x)) = 4^x, maka perlu klarifikasi. Diasumsikan 4^(2x) berarti (4^2)^x = 16^x. Jika maksudnya adalah \(4^{2x}\) = \((2^2)^{2x}\) = \(2^{4x}\), atau \((4^x)^2\), maka ini berbeda.

Jika kita menginterpretasikan soal sebagai:
lim (x -> 0) (2^x - 1) / (4^x - 1)

Maka kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau sifat limit \( \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln(a) \).

Dalam bentuk ini, kita bisa memanipulasi ekspresi:
= lim (x -> 0) [(2^x - 1)/x] / [(4^x - 1)/x]
= [lim (x -> 0) (2^x - 1)/x] / [lim (x -> 0) (4^x - 1)/x]
= \( \ln(2) \) / \( \ln(4) \)
= \( \ln(2) \) / \( \ln(2^2) \)
= \( \ln(2) \) / \( 2 \ln(2) \)
= 1/2

Namun, jika kita melihat penyebut asli soal: 4^(2x) - 1 - (1/4), ini adalah konstanta jika x tidak ada dalam suku 1/4. Jika suku -1/4 adalah bagian dari penyebut secara keseluruhan dan bukan konstanta terpisah, maka penyebutnya adalah \(4^{2x} - \frac{5}{4}\).

lim (x -> 0) (2^x - 1) / (4^(2x) - 5/4)
Saat x -> 0, pembilang menjadi 2^0 - 1 = 1 - 1 = 0.
Saat x -> 0, penyebut menjadi 4^0 - 5/4 = 1 - 5/4 = -1/4.

Maka, limitnya adalah 0 / (-1/4) = 0.

Jika ada kesalahan pengetikan dan penyebutnya seharusnya (4^x - 1), maka jawabannya 1/2. Jika penyebutnya \(4^{2x} - 1\), maka:
lim (x -> 0) (2^x - 1) / (4^(2x) - 1)
Kita bisa tulis 4^(2x) sebagai (2^2)^(2x) = 2^(4x) atau (4^x)^2.
Jika kita gunakan 4^(2x) = (2^2)^(2x) = 2^(4x):
lim (x -> 0) (2^x - 1) / (2^(4x) - 1)
Bagi pembilang dan penyebut dengan x:
= lim (x -> 0) [(2^x - 1)/x] / [(2^(4x) - 1)/x]
= lim (x -> 0) [(2^x - 1)/x] / [4 * (2^(4x) - 1)/(4x)]
= [lim (x -> 0) (2^x - 1)/x] / [4 * lim (y -> 0) (2^y - 1)/y] (dengan y = 4x)
= \( \ln(2) \) / \( 4 \ln(2) \)
= 1/4.

Dengan penyebut 4^(2x) - 1 - (1/4) = 16^x - 5/4. Maka substitusi x=0 menghasilkan 16^0 - 5/4 = 1 - 5/4 = -1/4. Pembilang 2^x - 1 saat x=0 adalah 2^0 - 1 = 0. Maka limitnya 0 / (-1/4) = 0.

Mengingat format soal matematika, kemungkinan besar ada kesalahan pengetikan. Jika maksud soal adalah lim (x -> 0) (2^x - 1)/(4^x - 1), maka jawabannya adalah 1/2. Jika maksudnya adalah lim (x -> 0) (2^x - 1)/(2^(2x) - 1), maka jawabannya 1/2. Jika maksudnya adalah lim (x -> 0) (2^x - 1)/(4^(2x) - 1), maka jawabannya adalah 1/4. Jika penyebutnya memang 4^(2x) - 1 - (1/4) = 16^x - 5/4, maka jawabannya adalah 0.