Hitunglah nilai n dalam pernyataan berikut.C(n+2,4)=6 .

Nilai n adalah 7.

Pembahasan

Untuk mencari nilai n dalam pernyataan C(n+2,4) = 6 * C(n, 2), kita perlu menggunakan definisi dari koefisien binomial (kombinasi).

Definisi kombinasi adalah C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

Mari kita terapkan pada kedua sisi persamaan:

Sisi kiri: C(n+2, 4)
C(n+2, 4) = (n+2)! / (4! * (n+2-4)!)
C(n+2, 4) = (n+2)! / (4! * (n-2)!)
C(n+2, 4) = [(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)!] / (24 * (n-2)!)
C(n+2, 4) = (n+2)(n+1)n(n-1) / 24

Sisi kanan: 6 * C(n, 2)
C(n, 2) = n! / (2! * (n-2)!)
C(n, 2) = [n(n-1)(n-2)!] / (2 * (n-2)!)
C(n, 2) = n(n-1) / 2

Maka, 6 * C(n, 2) = 6 * [n(n-1) / 2] = 3n(n-1)

Sekarang, samakan kedua sisi:
(n+2)(n+1)n(n-1) / 24 = 3n(n-1)

Kita perlu mempertimbangkan syarat bahwa n harus bilangan bulat non-negatif dan k ≤ n untuk C(n,k). Dalam kasus C(n,2), n ≥ 2. Dalam kasus C(n+2,4), n+2 ≥ 4, sehingga n ≥ 2.

Karena n ≥ 2, maka n ≠ 0 dan n-1 ≠ 0. Kita bisa membagi kedua sisi dengan n(n-1):

(n+2)(n+1) / 24 = 3

Kalikan kedua sisi dengan 24:
(n+2)(n+1) = 3 * 24
(n+2)(n+1) = 72

Sekarang, kita perlu mencari dua bilangan bulat berurutan yang hasil perkaliannya adalah 72. Kita bisa menebak:
8 * 9 = 72

Jadi, kita bisa menyamakan:
n+2 = 9  => n = 7
n+1 = 8  => n = 7

Atau, kita bisa ekspansikan persamaan kuadrat:
n^2 + n + 2n + 2 = 72
n^2 + 3n + 2 = 72
n^2 + 3n - 70 = 0

Faktorkan persamaan kuadrat ini. Kita mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -70 dan jika dijumlahkan menghasilkan 3. Bilangan tersebut adalah 10 dan -7.

(n + 10)(n - 7) = 0

Ini memberikan dua solusi potensial untuk n:
n = -10 atau n = 7.

Karena syarat untuk kombinasi C(n, k) adalah n harus bilangan bulat non-negatif (dan dalam konteks ini n ≥ 2 agar C(n,2) terdefinisi), maka n = -10 tidak valid.

Oleh karena itu, nilai n yang memenuhi adalah n = 7.