Hitunglah: tan 5pi/12/(1-tan ^2 5pi/12)

Hasilnya adalah -√3/6.

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk menghitung nilai dari ekspresi tan(θ) / (1 - tan^2(θ)) dimana θ = 5π/12.

Kita bisa menggunakan identitas trigonometri untuk tangen sudut ganda, yaitu:
tan(2θ) = 2 tan(θ) / (1 - tan^2(θ)).

Perhatikan bahwa ekspresi yang diberikan adalah setengah dari sisi kanan identitas ini:
tan(5π/12) / (1 - tan^2(5π/12)) = (1/2) * [2 tan(5π/12) / (1 - tan^2(5π/12))]

Jadi, ekspresi tersebut sama dengan (1/2) * tan(2 * (5π/12)).
2 * (5π/12) = 10π/12 = 5π/6.

Maka, kita perlu menghitung (1/2) * tan(5π/6).

Nilai tan(5π/6): Sudut 5π/6 berada di kuadran II. Sudut referensinya adalah π - 5π/6 = π/6.
Tangen di kuadran II bernilai negatif.
tan(5π/6) = -tan(π/6).
Kita tahu bahwa tan(π/6) = 1/√3.
Jadi, tan(5π/6) = -1/√3.

Sekarang, substitusikan kembali ke ekspresi awal:
(1/2) * tan(5π/6) = (1/2) * (-1/√3)
= -1 / (2√3)

Untuk merasionalkan penyebut, kita kalikan dengan √3/√3:
= (-1 * √3) / (2√3 * √3)
= -√3 / (2 * 3)
= -√3 / 6.

Jadi, hasil dari tan(5π/12) / (1 - tan^2(5π/12)) adalah -√3/6.