Jika 0<x<pi, buktikan bahwa: sin x/2=akar ((1-cos x)/2)

Identitas terbukti dengan menggunakan rumus sudut paruh sinus dan mempertimbangkan bahwa x/2 berada di kuadran pertama sehingga nilai sinusnya positif.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri sin(x/2) = √((1-cos x)/2) untuk 0 < x < π, kita dapat menggunakan rumus sudut paruh. Rumus sudut paruh untuk sinus adalah:
sin(θ/2) = ±√((1 - cos θ)/2)

Dalam kasus ini, kita ingin membuktikan sin(x/2). Kita bisa menganggap θ = x.
Jadi, sin(x/2) = ±√((1 - cos x)/2)

Sekarang, kita perlu menentukan tanda (plus atau minus) berdasarkan rentang nilai x.
Diberikan bahwa 0 < x < π.
Jika kita membagi seluruh ketidaksamaan dengan 2, kita mendapatkan:
0/2 < x/2 < π/2
0 < x/2 < π/2

Sudut x/2 berada di kuadran pertama (antara 0 dan 90 derajat). Di kuadran pertama, nilai sinus selalu positif.
Oleh karena itu, kita menggunakan tanda positif dalam rumus sudut paruh.
sin(x/2) = +√((1 - cos x)/2)

sin(x/2) = √((1 - cos x)/2)

Ini membuktikan identitas trigonometri yang diminta.