Jika 2a+1<0 dan grafik y=x^2-4ax+a bersinggungan dengan

2

Pembahasan

Soal ini melibatkan konsep fungsi kuadrat dan kondisi bersinggungan.

Diketahui:
1. 2a + 1 < 0  => 2a < -1 => a < -1/2
2. Grafik y = x^2 - 4ax + a bersinggungan dengan grafik y = 2x^2 + 2x

Agar kedua grafik bersinggungan, maka pada titik singgungnya, nilai y dan gradiennya sama. Namun, cara yang lebih mudah adalah dengan menyamakan kedua persamaan dan memastikan diskriminan dari persamaan kuadrat yang dihasilkan adalah nol (karena hanya ada satu titik potong).

Samakan kedua persamaan:
x^2 - 4ax + a = 2x^2 + 2x
Pindahkan semua suku ke satu sisi:
0 = 2x^2 - x^2 + 2x + 4ax - a
0 = x^2 + (2 + 4a)x - a

Ini adalah persamaan kuadrat dalam bentuk Ax^2 + Bx + C = 0, di mana:
A = 1
B = 2 + 4a
C = -a

Karena kedua grafik bersinggungan, diskriminan (D) harus sama dengan nol:
D = B^2 - 4AC = 0
(2 + 4a)^2 - 4(1)(-a) = 0
4 + 16a + 16a^2 + 4a = 0
16a^2 + 20a + 4 = 0
Bagi seluruh persamaan dengan 4:
4a^2 + 5a + 1 = 0

Faktorkan persamaan kuadrat tersebut:
(4a + 1)(a + 1) = 0

Ini memberikan dua kemungkinan nilai a:
4a + 1 = 0  => a = -1/4
a + 1 = 0   => a = -1

Sekarang kita gunakan kondisi awal, yaitu a < -1/2. Dari kedua nilai a yang mungkin, hanya a = -1 yang memenuhi kondisi ini.

Jadi, nilai a = -1.

Yang ditanyakan adalah a^2 + 1:
a^2 + 1 = (-1)^2 + 1
a^2 + 1 = 1 + 1
a^2 + 1 = 2

Jadi, a^2 + 1 = 2.